【基础不牢，地动山摇】最小二乘法

什么是最小二乘法？

第一次听到最小二乘法是在读书期间，主要是用来应付期末考试。深入了解它是在拟合曲线的过程中，有的论文对最小二乘法进行改进，增加了很多的正则项，以提高拟合度。

总的来说，最小二乘法就是最一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。实现函数的拟合。比如下图：

在这里插入图片描述
可以通过最小二乘法计算出函数的系数，得到a,b实现函数对这些点的误差最小。

简单的理解最小二乘法

我觉得他就是个拟合，实在不知道如何简单的讲给别人听，不过有一篇博客，讲的是够透彻。
地址是：[url](https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117)

如何使用最小二乘法？

做工程，最重要的是能够利用各种工具。如何使用最小二乘法？我们假设要拟合的函数是：

首先定义出函数：

# 目标函数
def real_func(x):
    return np.sin(2*np.pi*x)

# 多项式
def fit_func(p, x):
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

# 残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

简单的生成数据，并加点噪音

# 十个点
x = np.linspace(0, 1, 10)
x_points = np.linspace(0, 1, 1000)
# 加上正态分布噪音的目标函数的值
y_ = real_func(x)
y = [np.random.normal(0, 0.1) + y1 for y1 in y_]

最小二乘法拟合，并把多项式的参数暴露出来。

def fitting(M=0):
    """
    M    为 多项式的次数
    """
    # 随机初始化多项式参数
    p_init = np.random.rand(M + 1)
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])

    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq

结果展示：

• 二次函数

  
  在这里插入图片描述

• 三次函数

  
  在这里插入图片描述

• 八次函数

  
  在这里插入图片描述

结论

通过图片可以看出来，多项式的次数越高，拟合的越好，但是也太高的话也会出现过拟合现象。比如说最后一图，都在噪点上。