一、程序中的运算

程序中的计算

计算机程序，其实就是计算机按照我们编写好的代码，一步接一步的执行的过程。在程序中，会经常遇到一些计算，这些计算和我们数学上的计算很相似，但是又有一些区别，我们需要掌握计算机程序中的运算的表达，我们此处只介绍C++的表达。

类似与数学上的加减乘除、括号，C++中也是同样的。在C++中，加减乘除分别用：『+』、『-』、『*』、『/』来表示。与数学不同的是，在C++的除法中，分两种情况，一种是整除之间的除法、一种小数之间的除法。整数的除法，并不是数学上的除法，而是整除；小数间的除法，才是数学上的除法。那么既然整数之间有整除，必然会存在余数的情况，也就是求余，求余，C++用『%』来表示。

5+3 = 8

5*2 = 10

5/2 = 2           // 注意这里是整除

5%2 = 1        //求余

另外，C++中的括号只有小括号（），没有中括号、大括号，遇到有多重的括号，就“嵌套”使用小括号。所谓『嵌套』，我们暂且理解为就是自己里面包含自己。

一般幂运算，我们都是用多次相乘，开平方，我们用sqrt(x)，如『根号2』 表示为sqrt(2)

数学式子的表达

二、布尔值

1、布尔值

众所周知，在计算机里，我们使用的是二进制，即要么是0，要么是1。虽然我们提倡做人不要“非黑即白”，但是计算机是“一根筋”，它是“非一即零”。同样地，要计算机判断一个事情，在它眼里，也有简单的对错之分，没有中间含糊其辞的“半对”。对或错，在计算机中我们用true 和 false 来表示，我们将这种只有对错的值称为布尔值（bool），这其实是一个译音，就像我们说的“车厘子”（cherry，粤语读法，樱桃）。布尔值，只有两个值，true 和 false。true 表示正确、条件是成立的，是真的；flase 表示错误、条件是不成立的，是假的。

2、布尔值的判断

布尔值，只有两个结果，对或者错，那么要如何才能判断呢？首先必须要是命题，才能判断，如果本身都不是命题，则无法判断。命题即是明确描述或表达一种观点的语句。例如：今天是9月1日。这是一个命题，而且我们可以判断它是否正确。一般来讲，命题是陈述句，不能是疑问句。譬如：今天是9月1日吗？这个就不是命题，我们无法判断真假。

为了更好地理解布尔值的判断，我们用一些案例来说明：

3.4 > 5                          

2017年9月14日是星期四

10是正整数

15 能被3整除

15 能被5整除

对于上面的例子，我们不难得出结果，很显然除了第一个案例是false，其他都是true。

当然，我们在程序中，不太可能用我们的语言文字去描述，而往往使用表达式来表示，那么常用的关系符号有以下这些。

常用符号

a%2 == 0          // a能被2整除，即a对2求余，余数是0

y>=60              // 年龄y大于等于60岁

二、与、或、非、异或

有时，我们的布尔的判断，并不仅仅是一个条件，可能需要同时满足多个条件，这个时候，我们就需要涉及到一些逻辑运算中的连接词。譬如在上面的例子中，15能被3整除、15能被5整除，如果我们需要这两个条件都要同时满足，我们可以这样描述：15既能被3整除且能被5整除。

1、与运算

串联电路

类似于这种需要同时满足的条件，我们称之为“与”运算，可以类似于电学里面的串联电路，不同的条件是串联的几个开关，必须全部条件都满足，才能电路才通，也就是说必须全部条件都成立，最后结果才成立。与运算，在数学符号中，我们常用『∧』来表示，类似于集合中的交集，在C++语言中，与运算我们用“&&” 或者 “ and ” 来表示。一般两个逻辑表达式，我们都用小括号括起来，这是比较良好的代码习惯。

x能被3整除，且能被5整除                   (x%3 == 0) && (x%5 == 0)  

语文成绩高于90，数学高于95             (yw>90) && (sx>95)

运算规则：很显然，与运算中，只有所以条件都为真时，整个条件才为真，只要出现某个条件为假，整个条件就是假。

2、或运算

并联电路

类似于串联电路，也有并联电路，即在若干条件中，只需要满足一个条件就成立，这样的运算我们成为“或”运算。或运算，在数学符号中，我们常用『∨』来表示，类似于集合中的并集，在C++语言中，或运算我们用“||” 或者 “ or ” 来表示。

乘坐公车，身高低于1.2m或年龄高于60岁的免费             (h<1.2) || (y>60)

语文超过95或数学超过98的获单科奖励                           (yw>95) || (sx>98)

运算规则：很显然，或运算中，只要有一个条件为真时，整个条件就为真，只有全部条件都为假，整个条件才是假。

3、非运算

上面我们就提到，计算机是『非黑即白』的，非运算，就是对某种情况的对立面。就好比我们抛硬币，在计算机眼中，只有正面和反面，正面的非运算就是反面，反面的非运算就是正面，不存在硬币立起来的情况。非运算，在数学符号中，我们常用『﹁』来表示，类似于集合中的补集，在C++语言中，非运算我们用“!”  来表示。

a == 0         //  a等于0

!(a==0)       // 非运算，相当于  (a<0) || (a>0)  也可以写成  a != 0

b > 2          // b大于2

!(b>2)        // 非运算，相当于 b<= 2

运算规则：很显然，非运算中，真条件的非运算是假，假条件的非运算是真。

4、异或运算

异或相对上面几个，使用的相对较少，它是一个很奇怪的运算，它一般用在两个条件之间，运算的规则是两个条件相同，即同样为真或同样为假，那它的结果就是假；而如果两个条件不同，即一真一假时，它的结果就为真。异或比较常用在『博弈论』里面。异或运算，在数学符号中，我们常用『⊕』来表示，在C++语言中，与运算我们用“^” 或者 “ xor ” 来表示。

5、总结

我们假定有两个命题或条件P、Q，我们用下表来总结与、或、非、异或的计算关系。

运算结果

还有需要注意的是运算的先后顺序。运算级比较：非>与>或、异或（or和xor是同级的），当然括号最优先。

三、练习

例题1．若A=True，B=False，C=True，D=False，以下逻辑运算表达式真的有（）。

A．（A∧B）∨（C∧D∨¬A）             B．（（¬A∧B）∨C）∧¬B

C．（B∨C∨D）∨D∧A                      D．A∧（D∨¬C）∧B

题解：一个个算结果，比如A选项（A∧B）∨（C∧D∨¬A） ，根据运算级的比较，我们可以定下运算的顺序，然后按运算顺序计算结果。注意，这类题是有个小技巧的。比如A选项可以先看中间的∨，为什么呢？因为∨的左右有一边是真就行，可以不去看另外一边。

A选项的结果是：（A∧B）∨（C∧D∨¬A），（A∧B）=假，（C∧D∨¬A）中C∧D =假，¬A=假，所以（C∧D∨¬A）=假。于是A选项可以简写为：假∨（假∨假）=假。

B选项的结果是：（（¬A∧B）∨C）∧¬B，如果¬B是假那么就可以不去看前面的（（¬A∧B）∨C），可惜的是¬B是真，那么就要看（（¬A∧B）∨C），发现C是真，所以不看（¬A∧B），于是B选项可以简写为：（？∨真）∧真=真。

C选项的结果是：（B∨C∨D）∨D∧A，D∧A=假，所以不得不看前面部分（B∨C∨D），只要BCD有一个是真，那么（B∨C∨D）=真，而容易发现C=true。所以C选项可以简写为：真∨假=真。

D选项的结果是：A∧（D∨¬C）∧B，我们很容易发现D选项的特殊结构为 ？∧？∧？，三个？有一个是假，那么D为假，A和B不用计算便可看出，所以先发现B=假，所以D=假。

历年题目

1、【2010提高（同2010普及）】以下逻辑表达式的值恒为真的是（）。

A．P∨（┓P∧Q）∨(┓P∧┓Q)

B．Q∨（┓P∧Q）∨（P∧┓Q）

C．P∨Q∨（P∧┓Q）∨（┓P∧Q）

D．P∨┓Q∨（P∧┓Q）∨(┓P∧┓Q)

2、【2008提高（多选）】若A=True，B=False，C=True，D=False，以下逻辑运算表达式真的有(   )。

A．（A∧B）∨（C∧D∨¬A）                     B．（（¬A∧B）∨C）∧¬B

C．（B∨C∨D）∨D∧A                              D．A∧（D∨¬C）∧B

3、【2008普及】设A=true，B=false，C=true，D=false，以下逻辑运算表达式值为真的是(  )。

A. (A∧B)∨(C∧D∨¬A)                  B. ((¬A∧B)∨C)∧¬D

C. (B∨C∨D)∧D∧A                      D. A∧(D∨¬C)∧B

4、【2007普及】设A=B=True，C=D=False，一下逻辑运算表达式值为假的有( )。

A．(﹁A∧B)∨(C∧D∨A)

B．﹁(((A∧B)∨C)∧D)

C．A∧(B∨C∨D)∨D

D．(A∧(D∨C))∧B

5、【2006提高（多选）】设A=B=D=true，C=E=false，以下为真的有（ ）。

A. (A∧B)∨(C∧D)∨E           B. (((A∧B)∨C)∧D∧E)

C. A∧(B∨C∨D∨E)             D. (A∧(B∨C))∧D∧E

答案：

1～5  A、BC、B、D、AC