线性代数-矩阵

【义】2.1 由m×n个数aij （ i＝1， 2， …， m； j＝1， 2， …， n） 排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵 ， 简称m×n矩阵

矩阵运算

矩阵加法满足下列运算规律

1. A＋B＝B＋A；
2. （ A＋B） ＋C＝A＋（ B＋C） ；
3. A＋（ -A） ＝0， A＋0＝A

【义】2.6 设有矩阵A＝（ aij ） m×k 和B＝（ bij ） k×n ， 那么规定矩阵A与B的乘积 是一个m×n矩阵C＝（ cij ） m×n ， 记作C＝AB

矩阵乘法虽然不满足交换律和消去律， 但是满足以下规律

1. 结合律： （ AB） C＝A（ BC）
2. λ（ AB） ＝（ λA） B＝A（ λB） （ 其中λ为数）
3. 分配律： A（ B＋C） ＝AB＋AC， （ B＋C） A＝BA＋CA

矩阵的转置满足以下运算规律 image.png

可逆矩阵

【义】2.11 对于n阶方阵A， 若有一个n阶方阵B， 使得AB＝BA＝E． 则称矩阵A是可逆 的， 矩阵B为A的逆矩阵， 简称逆阵

矩阵的逆矩阵满足以下的运算规律：

1. 如果方阵A可逆， 则A-1 可逆， 且（ A-1 ） -1 ＝A
2. 如果方阵A可逆， 数λ≠0则λA可逆， 且其逆矩阵
3. 如果方阵A可逆， 则A的转置矩阵AT 也可逆， 且
4. 如果方阵A， B均可逆且为同阶矩阵， 则AB可逆， 且

伴随矩阵（求矩阵A的逆矩阵）

【义】2.12 设n阶方阵A＝（ aij ） n×n ， 则它的伴随矩阵为矩阵A的行列式∣A∣的各个元素的代数余子式Aij 所构成的矩阵， 记为A* 伴随矩阵
【理】2.1 n阶方阵A是可逆矩阵的充分必要条件是∣A∣≠0，

逆矩阵的应用

通过矩阵的逆矩阵， 我们可以简化矩阵的计算， 求解矩阵方程， 讨论线性变化的逆变化等

分块矩阵

利于计算

矩阵的初等变换

【义】设矩阵A＝（ aij ） m×n ， 下面的三种变换：

1. （交法变换） 交换矩阵A的某两行（列）
2. （倍法变换） 矩阵A的某行（列） 乘以非零常数k
3. （消法变换） 矩阵A的某行（列） 乘以常数k加到另一行（列） 上
   称为矩阵的初等行（列） 变换 ， 统称矩阵的初等变换

为了以后书写方便， 我们约定下面几个符号 image.png

【义】矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B， 则称矩阵A和矩阵B等价 ， 记为A≅B
矩阵之间的等价关系具有以下三个性质：

1. 反身性： A≅A
2. 对称性： 若A≅B， 则B≅A
3. 传递性： 若A≅B， B≅C， 则A≅C

通常我们会用矩阵的初等变换把矩阵化为较简单的形式． 下面是几种较常用到的矩阵

1. 行阶梯形矩阵 ： 矩阵自上而下的非零行， 每行的第一个非零元素比上一行的后移， 零行位于矩阵的最下面
2. 行最简形矩阵 ： 矩阵是行阶梯形矩阵， 且每一行的第一个非零元素所在列除它外全为零， 而且这个非零元素为1
3. 标准形矩阵 ： 矩阵的左上角为一个r阶单位矩阵， 其他元素全为零

初等矩阵

【义】2.15 n阶单位矩阵En 经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵
一般地， 对n阶单位矩阵En 有

1. En 的第i， j行（列） 交换得到初等矩阵E（i， j）
2. En 的第i行（列） 乘非零常数k得到初等矩阵E（i（k））
3. En 的第j行乘常数k加到第i行（或第i列乘常数k加到第j列） 得到初等矩阵E（i， j（k））

通过直接验证， 很容易得出初等矩阵具有以下性质：

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
2. 初等矩阵均是可逆矩阵， 且其逆矩阵仍为同类的初等矩阵

【理】2.2 设A是m×n矩阵， 则：

1. 对A施行一次行初等行变换， 相当于用一个相应的m阶初等矩阵左乘A
2. 对A施行一次列初等列变换， 相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘A

【理】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是： A可以表示成若干初等矩阵的乘积
【推】2.2 设A， B是m×n矩阵， 则A≅B的充分必要条件是： 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q， 使得A＝PBQ
【推】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是： A≅E
【推】2.4 设A是可逆矩阵， 则只用初等行变换即可把A化为单位矩阵E． 同样， 只用初等列变换也能把A化为单位矩阵E

用初等变换计算逆矩阵

计算逆矩阵