题目一：
一个长方体容器，长16分米，宽10分米，高12分米，里面装有8分米深的水。将一块棱长8分米的正方体铁块浸没水中，水面会升高多少分米？
如果这样提出问题，学生的思维只会指向怎样求水面升高的高度。但是在课改的当下，我们要的不仅是这样一个结果，更多的是要让学生从解决这个问题的过程中，感悟转化的思想方法，发展空间观念，提高综合应用所学知识解决问题的能力。
于是，我将这个题目的问题进行修改：改为“水会溢出来吗？”
当这个问题提出后，学生积极思考，想到了多种解决的方法。
方法一：（正方体的体积＋原来水的体积）与长方体容器的体积进行比较。
方法二：容器空余部分的容积与正方体铁块的体积进行比较
方法三：水面升高的高度与空余部分的高度比较
很明显，经过这样一改，水面升高多少分米这一问题就是解决“水会溢出来吗”这一问题的一种方法，或者说，这个问题不是在别人的要求下被动去解决的，而是自己为了解决另一个问题，主动去探究的。所以说，在解决问题的教学中，要多为学生提供一些这样练习的机会，让问题的设置更开放一些，从而培养学生思维的灵活性和创造性。
题目二：
判断题：因为a×b=1，所以a和b 互为倒数。
看起来很简单的一道题目，我觉得学生应该是都能够做对的。因为在教学《倒数的认识》这节课时，针对学生认为“分子分母颠倒位置的数就是倒数”这一片面的认识，我着重引导学生辨析、理解了“乘积是1的两个数互为倒数”这一概念的意义，从课堂上学生的表现和反馈来看，我自认为学生应该掌握的挺好。至少在那节课上，学生知道要想验证自己写出来的倒数是否正确，就需要看这两个数的积是否等于1。可当我看到仅有60%多点的正确率时，我实在难以相信自己的眼睛，我也实在想不通，这其中的问题究竟出在哪里？
我在想：也许学生是在想，要加上0除外这一条件？但这里既然已经写出a×b=1，a和b就不可能会是0了呀。带着这样的疑惑，我准备去了解一下学生的真实想法：
出示题目。手势表示自己的答案。
指名一位打错的同学，说一说自己的想法。
生：我想到1的倒数是它本身，所以打错号。
分析：也许她认为，前面写的a×b=1，a和b表示的应该是不同的两个数，而1的倒数是它本身，是相同的数，所以这样说就不对。
反思：一开始，我不知道该怎样给她解释清楚。现在想来：题目的条件是a×b=1，如果认为a和b表示的是不同的两个数，那就不应该举出1×1这个例子，因为这个例子本身就不符合两个不同的数相乘这一条件。我们所说的乘积是1的两个数，不仅包含了不同的两个数，还包括1这个特殊的数（倒数是它本身，积两个数相同）。也就是说：不仅是不同的两个数（a和b），还是相同的数（1和1），只要符合乘积是1 这一条件，就可以说它们是互为倒数的。
生：我在想0.5的倒数是2，所以这样说不对。
反思：我实在无法想象学生是怎么想的？也许在它看来，互为倒数的两个数应该是两个分数，或者是整数，而不能出现小数？但小数也是可以有倒数的呀。
看来，这些在我们看来非常简单的问题，对于学生来讲并不简单。学生受自身思维水平和认识能力的限制，在理解概念的过程中，难免会出现各种各样的偏差或误解，而我们要做的就是要仔细倾听和了解他们的真实想法，针对错误的认知采取有效的方法，从而改变他们的错误认识，加深对概念的理解。
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