牛顿方法
牛顿方法是一种比梯度下降更快的找到极值的算法。
过程及原理
在前一章的讲解中已经知道了拟合的本质是在给定x和 的条件下出现y的概率的极大似然估计，最终通过对极大似然函数的对数使用梯度上升法来迭代求出极大值（可能是最大值）。
那么现在我们换种思路来求极大似然函数的局部最大值，我们知道极值点的导数（如果存在）都为0，因此我们只需要求出使得 的
即可。
而牛顿方法是用来求一个函数的零点的方法，所谓牛顿方法就是通过某些步骤求出 的零点，从而得到
的过程：
某个函数 的图像如下：
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由图可知 ，因此
y以此类推可以得到一个递推公式：
按这个公式进行迭代，最终能够得到这个函数 的零点。
上面就是牛顿法求函数零点的方法，现在我们用它来寻找 的零点：
函数导数的零点就是函数的可能极值点。
牛顿法迭代的特点
-
初始值影响不大(一般初始化为全零即可)
这是Andrew的原话，但是我觉得如果函数导数有多个零点，则初始点的选取是能够直接影响得到的结果的，不知道老师为什么要这么说。
-
收敛速度快。这个方法的收敛速度是“二次收敛”，即每次迭代结果和最终结果之间的误差指数级减小。
-
这个方法不是对所有函数都适用，适用的函数有复杂的限制，这里不讲。
-
当参数
是高维的情况下：
其中H是Hessian矩阵：
牛顿方法相比于梯度上升发的缺点是每次迭代都需要计算Hessian矩阵的逆矩阵，这是一个
维的矩阵，因此一般只在特征较少时(十几个)使用牛顿法。
广义线性模型(Global Linear Model)
之前的课程中了解了两类模型:
-
线性回归：
且符合高斯分布（正态分布）<- 线性函数
-
logistic回归：
上一份笔记的末尾留了一个问题：为什么选择logistic函数来建模伯努利分布呢？为什么线性回归和logistic回归使用的函数不同，迭代过程却十分相似呢？
这是因为它们两个都是指数分布族的特殊情况。
指数分布族（Exponential Family）
一般 。
伯努利分布还原为指数分布族形式
从上面的结果可以看出，伯努利分布是指数分布族在
时的特殊情况。可以将 用
表示出来再代入
的表达式，这样就可以得到变量统一的
：
高斯分布还原为为指数分布族形式
高斯分布： .
因为在之前高斯分布的参数拟合（梯度下降迭代）过程中，我们发现参数 的值并不影响迭代过程，也就不影响最终拟合出来的参数，因此为了简化推导过程，我们设
。
因此，高斯分布是指数分布族在
时的特殊情况。
不仅是高斯分布和伯努利分布，伽马分布、泊松分布都能够写成指数分布族的形式。
构建广义线性模型
广义线性模型符合下述三个假设：
- 给定
， 目的是输出一个期望
使得
最大。
-
，即
之间是线性关系。更一般的情况下(
.
第三个假设，其实更准确地说是我们在设计GLMs时的一种设计选择（design choice）。有了这些假设和设计选择，我们才能够推导出优美的、具有许多有优良性质的学习算法，也就是GLMs。
在GLMs的基础上，我们如何从概率模型构造出数学函数呢？下面以之前讲过的两个模型为例：
构造出线性回归问题的函数
我们已经分析过，线性回归问题中的目标变量 （学术上称
为“响应变量”）符合高斯分布,那么仅仅知道这一点，我们如何将这个概率模型具体化为某个函数来模拟参数呢？下面用GLMs来做到这一点：
-
之前已经证明高斯分布是指数分布族的特殊情况。即
-
对于给定的
（此处
），因此输出的是
-
构造出二分类问题中使用的logistic函数
下面使用GLMs从伯努利概率分布函数自然地推导出logistic函数：
-
。这个之前已经推导过。
-
对于给定的
，目标是预测一个
-
正则响应函数（canonical response function）
上述构造过程中的
也称为正则响应函数。
正则关联函数(canonical link function)
而 被称为正则关联函数。
Softmax Regression
课程中使用GLMs推导了二项分布模型的数学表达式，由于过程复杂且本人学习重点不在这里，因此就不记录了，有兴趣可以看讲义，里面有详细过程。
GLM是一个强大的建模工具
从上面的例子中我们可以看到，有了GLM之后，我们所要做的仅仅是决定对某个问题我们使用哪种概率模型即可。决定了之后，如果这个概率模型属于是指数分布族（大多数情况下都是这样），那么就可以通过上述步骤“自动地”得出用于模拟这个概率模型的含参数学表达式。
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