基础数据结构和算法7：递归

1. 递归(Recursion)

1.1 概念

递归是一种直接或者间接调用自身函数。

1.2 本质

把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题

递归就是函数的“套娃”

1.3 套路

1. 确定递归公式
2. 确定边界条件

1.4 练习

1. 递归打印1~10
2. 数组求和
3. 阶乘
4. 打印第n个斐波那契数列

使用递归模拟for循环(自增的i和不停的调用)。

在第一个月有一对刚出生的小兔子，在第二个月小兔子变成大兔子并开始怀孕，第三个月大兔子会生下一对小兔子，并且以后每个月都会生下一对小兔子。 如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程，并且兔子永远不死，那么兔子的总数是如何变化的？

1.5 原理解析

小知识

德罗斯特效应(Droste effect)是递归的一种视觉形式，是指一张图片的某个部分与整张图片相同，如此产生无限循环。

2. 迭代

2.1 概念

迭代（辗转法）是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。

2.2 本质

迭代很多时候就是使用循环实现。

2.3 套路

int sum(int n ) {
    int sum =0;
    for(int i = 1 ; i <= n;i++) sum+=n;//求解1~n的和
    return sum;
}

1. 确定迭代变量：确定一个直接或间接地不断由旧值推断新值的变量，如sum。
2. 建立迭代关系式：从变量的旧值推断到新值的公式，如。
3. 对迭代过程进行控制：迭代不可能无限循环下去，需要对何时退出迭代进行控制，如i=>n退出循环。

2.4 练习

1. 递归打印1~10
2. 数组求和
3. 阶乘
4. 打印第n个斐波那契数列

3. 递归与迭代比较

3.1 递归可能比较耗内存

实现函数printN(int n),打印从1到n的所有整数。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#ifndef RECURSION
void printN(int n){
        for(int i=1;i<=n;++i){
                printf("%d\n",i);
        }
}
#else
void printN(int n){
        if(0 != n) {
                printN(n-1);
                printf("%d\n",n);
        }
}
#endif

int main(int argc,char** argv) {
        if(argc != 2){
                printf("usage:%s <num>\n",argv[0]);
                return 1;
        }
        printN(atoi(argv[1]));
        return 0;
}

编译执行printN(int n)函数循环实现

gcc test.c && ./a.out 1000000

编译执行printN(int n)函数递归实现

gcc -DRECURSION test.c && ./a.out 1000000

3.2 递归可能比较效率低

斐波那契数列

• 递归

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#ifndef RECURSION
long long Fibonacci(int n) {
    if(n < 1) return 0;
    if(1 == n || 2 == n) return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}
#else
long long Fibonacci(int n) {
    if(n<1) return 0;
    long long a = 0;
    long long b = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        b += a;
        a = b - a;      
    }
    return b;
}
#endif
int main(int argc,char** argv) {
        if(argc != 2){
                printf("usage:%s <num>\n",argv[0]);
                return 1;
        }
        printf("%lld\n",Fibonacci(atoi(argv[1])));
        return 0;
}

编译执行Fibonacci(int n)函数循环实现

gcc test.c && ./a.out 45

编译执行Fibonacci(int n)函数递归实现

gcc -DRECURSION test.c && ./a.out 45

命令time可以测量程序执行的时间。

练习：递归打印九九乘法表

void PrintCol(int r,int c){
    if(0==c) return;
    PrintCol(r,c-1);
    printf("%d*%d=%2d ",r,c,r*c);
}
void PrintRow(int r){
    if(0==r) return;
    PrintRow(r-1);
    PrintCol(r,r);
    printf("\n");
    
}

禁止套娃

4. 动态规划

解决递归性能问题的一种方法。

70. 爬楼梯

• 递归：楼顶开始思考，自顶而下

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(1==n||2==n) return n;
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
};

递归超时，因为存在大量的重复计算。

• 动态规划之备忘录/记忆化
  使用数组记录计算过程中的数值，避免重复计算。

class Solution {
public:
    vector<int> dp; // 动态规划：备忘录/记忆化
    int climbStairs(int n) {
        if(dp.empty()) dp.resize(n+1);
        if(1==n||2==n) return n;
        if(0==dp[n]) dp[n] = climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);// 减少重复递归计算
        return dp[n];
    }
};

• 动态规划之自底而上
  楼底开始思考，自底而上，迭代方式解决问题。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(1==n||2==n) return n;
        int prev = 1; // 台阶1
        int curr = 2; // 台阶2
        for(int i=3;i<=n;++i){
            int res = prev + curr;
            prev =curr;
            curr = res;
        }
        return curr;
    }
};

练习

1. 链表的顺序和逆序打印数据
2. 链表的反序