介绍
原文地址: https://blog.csdn.net/zijin0802034/article/details/77685438/
因为做目标检测和人脸识别时，当前比较流行的是anchor-based方案，会涉及到边框回归的问题，在此记录为了从原理入手，加深自己的理解。首先提出如下几个问题：
1. 为什么要做边框回归？
2. 什么是边框回归？
3. 边框回归怎么做？
4. 边框回归的宽高为什么要设计成这个样子？
5. 为什么边框回归只能微调，在离ground truth近的时候才能生效？
1. 为什么要做边框回归？
Fig 1上图中绿色的框表示Ground Truth, 红色的框为Selective Search提取的Region Proposal。那么即便红色的框被分类器识别为飞机，但是由于红色的框定位不准(IoU<0.5)， 那么这张图相当于没有正确的检测出飞机。 如果我们能对红色的框进行微调， 使得经过微调后的窗口跟Ground Truth 更接近， 这样岂不是定位会更准确。 确实，Bounding-box regression 就是用来微调这个窗口的。
2. 什么是边框回归？
对于窗口一般使用四维向量来表示， 分别表示窗口的中心点坐标和宽高。 对于图 2, 红色的框 P 代表原始的Proposal, 绿色的框 G 代表目标的 Ground Truth， 我们的目标是寻找一种关系使得输入原始的窗口 P 经过映射得到一个跟真实窗口 G 更接近的回归窗口
。
Fig 2边框回归的目的既是：给定寻找一种映射
， 使得
并且
3. 边框回归怎么做？
那么，经过何种变换才能从Fig 2中的窗口变成窗口
呢？比较简单的思路是：平移 + 尺度缩放
3.1 先做平移 ，其中
,
，这是论文中的：
(1)
(2)
3.2 再做尺度缩放，其中
，
，对应论文中的：
(3)
(4)
观察(1)-(4)我们发现， 边框回归学习就是，
，
，
这四个变换。下一步就是设计算法那得到这四个映射。线性回归就是给定输入的特征向量 X, 学习一组参数 W, 使得经过线性回归后的值跟真实值 Y(Ground Truth)非常接近. 即
。 那么 Bounding-box 中我们的输入以及输出分别是什么呢？
Input
Region Proposal → ，这是什么？输入就是这四个数值吗？其实真正的输入时这个窗口对应的CNN特征，也就是R-CNN中Pool5 feature（特征向量）。（注：训练阶段输入还包括Ground Truth，也就是下边提到的
。
Output
需要进行的平移变换和尺度缩放，
，
，
或者说是
，
。 我们的最终输出不应该是 Ground Truth 吗？ 是的， 但是有了这四个变换我们就可以直接得到 Ground Truth， 这里还有个问题， 根据(1)~(4)我们可以知道， P 经过
,
,
,
得到的并不是真实值
， 而是预测值
。 的确， 这四个值应该是经过 Ground Truth 和 Proposal 计算得到的真正需要的平移量
和尺度缩放
。这也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：
(5)
(6)
(7)
(8)
那么目标函数可以表示为，
是输入Proposal的特征向量，
是要学习的参数（*表示x，y，w，h，也就是每一个变换对应一个目标函数），
是得到的一个预测值，我要让预测值与真实值
差距最小，得到的损失函数为：
函数优化目标为：
利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到
为什么宽高尺度设计成这种形式？
这里重点需要解释下为什么设计的,
为什么要除以宽高，为什么
,
会有
形式！！
首先CNN具有尺度不变性，以下图为例：
Fig 3
x,y 坐标除以宽高
上图的两个人具有不同的尺度，因为他都是人，我们得到的特征相同。假设我们得到的特征为ϕ1,ϕ2，那么一个完好的特征应该具备ϕ1=ϕ。ok，如果我们直接学习坐标差值，以x坐标为例，xi,pi分别代表第i个框的x坐标，学习到的映射为f,f(ϕ1)=x1−p1，同理f(ϕ2)=x2−p2。从上图显而易见，x1−p1≠x2−p1。也就是说同一个x对应多个y，这明显不满足函数的定义。边框回归学习的是回归函数，然而你的目标却不满足函数定义，当然学习不到什么。
宽高坐标Log形式
我们想要得到一个放缩的尺度，也就是说这里限制尺度必须大于0。我们学习的tw,th 怎么保证满足大于0呢？直观的想法就是EXP函数，如公式(3), (4)所示，那么反过来推导就是Log函数的来源了。
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