一、导论：幸存者偏差
24年前的一个闷热的下午，考试刚刚结束，我怀着忐忑的心情走在去数学老师办公室的路上。天热的透不过气来，似乎在故意在嘲笑我那可怜的数学成绩。
经过数学老师的一顿教导后，我渐渐产生了一个疑问：数学那么枯燥，它究竟有什么用？
后来上大学，被微积分蹂躏，被线性代数吊打，被概率论羞辱..........
我的那个问题还是没解决：
数学在生活中到底有什么用？
这个问题得以解决，是从我听到的一个故事开始...................
瓦 尔 德 与 失踪 的 弹 孔
同 很多 的“ 二 战” 故事 一样， 这个 故事 讲述 的 也是 纳粹 将 一名 犹太人 赶出 欧洲， 最后 又为 这一 行为 追悔莫及。
1902 年， 亚 伯 拉 罕· 瓦 尔 德 出生于 当时的 克劳 森 堡， 隶属 奥 匈 帝国。 瓦 尔 德 十几 岁时， 正 赶上 第一次 世界大战 爆发， 随后， 他的 家乡 更 名为 克 鲁 日， 隶属 罗马尼亚。 瓦 尔 德 的 祖父 是 一位 拉 比， 父亲 是 一位 面包师， 信奉 犹太教。 瓦 尔 德 是一 位 天生 的 数学家， 凭借 出众 的 数学 天赋， 他被 维也纳 大学 录取。 上 大学 期间， 他对 集 合论 与 度量 空间 产生了 深厚 的 兴趣。 即使 在理 论 数学 中， 集 合论合论 与 度量 空间 也 算 得上 是 极为 抽象、 晦涩 难 懂的 两 门 课程。 但是， 在 瓦 尔 德 于 20 世纪 30 年代 中叶 完成 学业 时， 奥地利 的 经济 正处于 一个 非常 困难 的 时期， 因此 外国人 根本 没有 机会 在 维也纳 的 大学 中 任教。 不过， 奥斯卡· 摩根 斯 特 恩（ Oskar Morgenstern） 给了 瓦 尔 德 一份 工作， 帮他 摆脱 了 困境。 摩根 斯 特 恩 后来 移民 美国， 并与 人 合作 创立 了 博弈 论。
1933 年 时， 摩根 斯 特 恩 还是 奥地利 经济 研究 院的 院长。 他 聘请 瓦 尔 德 做 与 数学 相关 的 一些 零 活儿， 所付 的 薪水 比较微薄。 然而， 这份 工作 却为 瓦 尔 德 带来 了 转机， 他 进入 了 考 尔 斯 经济 委员会（ 该 经济 研究院 当时 位于 科罗拉多 州 的 斯 普 林 斯市）。 尽管 政治 气候 越发 糟糕， 但是 瓦 尔 德 并不 愿意 彻底 放弃 理论 数学 的 研究。 纳粹 攻克 奥地利， 让 瓦 尔 德 更加 坚定 了 这一 决心。 在 科罗拉多 就职 几个月 之后， 他 得 到了 在 哥伦比亚 大学 担任 统计学 教授 的 机会。 于是， 他 再一次 收拾 行装， 搬到 了 纽约。
从此以后， 他被 卷入 了 战争。
在 第二次 世界大战 的 大部 分时 间里， 瓦 尔 德 都在 哥伦比亚 大学 的 统计 研究 小组（ SRG） 中 工作。 统计 研究 小组 是一 个 秘密 计划 的 产物， 它的 任务 是 组织 美国 的 统计学 家 为“ 二 战” 服务。 这个 秘密 计划 与 曼哈顿 计划（ Manhattan Project）[ 1] 有点儿 相似， 不过 所 研发 的 武器 不是 炸药， 而是 各种 方程式。 事实上， 统计 研究 小组 的 工作 地点 就在 曼哈顿 晨 边 高地 西 118 街 401 号， 距离 哥伦比亚 大学 仅 一个 街区。 如今， 这栋 建筑 是 哥伦比亚 大学 的 教工 公寓， 另外 还有 一些 医生 在 大楼 中 办公， 但是 在 1943 年， 它是“ 二 战” 时期 高速 运行 的 数学 中枢神经。 在 哥伦比亚 大学 应用 数学 小组 的 办公 室里， 很多 年轻 的 女士 正 低着 头， 利用“ 马前 特” 桌面 计算器 计算 最有 利于 战斗机 瞄准具 锁定 敌机 的 飞行 曲线 公式。 在另 一间 办公 室里， 来自 普林斯顿 大学 的 几名 研究人员 正在 研究 战略 轰炸 规程， 与 其一 墙 之隔 的 就是 哥伦比亚 大学 统计 研究 小组 的 办公室。
但是， 在 所有 小组 中， 统计 研究 小组的 权限 最大， 影响力 也 最大。 他们 一方 面像 一个 学术 部门 一样， 从事 高强度 的 开放 式 智力 活动， 另一方面 他们 都 清楚 自己 从事 的 工作 具有 极高 的 风险 性。 统计 研究 小组 组长 艾伦· 沃 利 斯（ W. Allen Wallis） 回忆 说：“ 我们 提出 建议 后， 其他 部门 通常 就会 采取 某些 行动。 战斗机 飞行员 会 根据 杰克· 沃 尔 福 威 茨（ Jack Wolfowitz） 的 建议 为 机枪 混 装 弹药， 然后 投入 战斗。 他们 有可能 胜利 返回， 也有 可能 再也 回不来。 海军 按照 亚 伯· 基 尔 希 克（ Abe Girshick） 的 抽样 检验 计划， 为 飞机 携带 的 火箭 填 装 燃料。这些 火箭 爆炸 后 有可能 会 摧毁 我们 的 飞机， 把 我们 的 飞行员 杀死， 也有 可能 命中 敌机， 干掉 敌人。”
数学 人才 的 调用 取决于 任务 的 重要 程度。 用 沃 利 斯 的 话说，“ 在 组建 统计 研究 小组 时， 不仅 考虑 了 人数， 还 考虑 了 成员 的 水平， 所 选调 的 统计 人员 都是 最 杰出 的。” 在这 些 成员 中， 有 弗 雷 德里 克· 莫 斯 特 勒（ Frederick Mosteller）， 他 后来 为 哈佛 大学 组建 了 统计 系； 还有 伦 纳 德· 萨 维 奇（ Leonard Jimmie Savage）， 他是 决策决策 理论 的 先驱 和 贝 叶 斯 定理 的 杰出 倡导者。 麻省 理工 学院 的 数学家、 控制论 的 创始人 诺 伯 特· 维 纳（ Norbert Wiener） 也 经常 参加 小组 活动。 在这 个 小组 中， 米 尔 顿· 弗 里 德 曼（ Milton Friedman） 这位 后来 的 诺贝尔 经济学 奖 得 主 只能 算 第四 聪明 的 人。
小组 中天 赋 最 高的 当 属 亚 伯 拉 罕· 瓦 尔 德。 瓦 尔 德 是 艾伦· 沃 利 斯 在 哥伦比亚 大学 就读 时 的 老师， 在 小组 中 是 数学 权威。 但是 在 当时， 瓦 尔 德 还是 一名“ 敌国 侨民”， 因此 他被 禁止 阅读 他自己 完成 的 机密 报告。 统计 研究 小组 流传 着 一个 笑话： 瓦 尔 德 在用在用 便笺 簿 写 报告 时， 每 写 一页， 秘书 就 会把 那 页 纸 从 他 手上 拿走。 从 某些方面 看， 瓦 尔 德 并不 适合 待在 这个 小组 里， 他的 研究 兴趣 一直 偏重于 抽象 理论， 与 实际 应用 相去甚远。 但是， 他 干劲 儿 十足， 渴望 在 坐标 轴上 表现 自己的 聪明才智。 在 你有 了 一个 模糊不清 的 概念， 想 要把 它 变成 明确 无误 的 数学 语言 时， 你 肯定 希望 可以 得到 瓦 尔 德 的 帮助。
于是， 问题 来 了。 我们 不 希望 自己的 飞机 被 敌人 的 战斗机 击落， 因此 我们 要 为 飞机 披上 装甲。 但是， 装甲 会 增加 飞机 的重量， 这样， 飞机 的 机动性 就会 减弱， 还会 消耗 更多 的 燃油。 防御 过度 并不 可取， 但是 防御 不足 又会 带来 问题。 在这 两个 极端 之间， 有一个 最优 方案。 军方 把 一群 数学家 聚拢 在 纽约 市 的 一个 公寓 中， 就是 想 找出 这个 最优 方案。
军方 为 统计 研究 小组 提供 了 一些 可能 用 得上 的 数据。 美军 飞机 在 欧洲 上空 与 敌机 交火 后 返回 基地 时， 飞 机上 会 留有 弹 孔。 但是， 这些 弹 孔 分布 得 并不 均匀， 机 身上 的 弹 孔 比 引擎 上 的 多。
军官 们 认为， 如果 把 装甲 集中 装在 飞机 最 需要 防护、 受 攻击 概率 最高 的 部位， 那么 即使 减少 装甲 总量， 对 飞机 的 防护 作用 也不 会 减弱。 因此， 他们 认为 这样 的 做法 可以 提高 防御 效率。 但是， 这些 部位 到底 需要 增加 多少 装甲 呢？ 他们 找到 瓦 尔 德， 希望 得到 这个 问题 的 答案。 但是， 瓦 尔 德 给出 的 回答 并不是 他们 预期 的 答案。
瓦 尔 德 说， 需要 加装 装甲 的 地方 不应 该是 留有 弹 孔 的 部位， 而 应该 是 没有 弹 孔 的 地方， 也就是 飞机 的 引擎。 瓦 尔 德 的 独到 见解 可以 概括 为 一个 问题： 飞机 各部 位 受到 损坏 的 概率 应该 是 均等 的， 但是 引擎 罩上 的 弹 孔 却 比 其余 部位 少， 那些 失踪 的 弹 孔 在 哪儿 呢？ 瓦 尔 德 深信， 这些 弹 孔 应该 都在 那些 未能 返航 的 飞机 上。 胜利 返航 的 飞机 引擎 上 的 弹 孔 比 较少， 其 原因 是 引擎 被 击中 的 飞机 未能 返航。 大量 飞机 在 机身 被打 得 千疮百孔 的 情况下 仍能 返回 基地， 这个 事实 充分 说明 机身 可以 经受住 打击（ 因此 无须 加装 装甲）。 如果 去 医院 的 病房 看看， 就会 发现 腿部 受 创 的 病人 比 胸部 中弹 的 病人 多， 其 原因 不在 于 胸部 中弹 的 人少， 而是 胸部 中弹 后 难以 存活。
数学上 经常 假设 某些 变量 的 值 为 0， 这个 方法 可以 清楚 地 解释 我们 讨论 的 这个 问题。 在这 个 问题 中， 相关 的 变量 就是 飞机 在 引擎 被 击中 后 不会 坠落 的 概率。 假设 这个 概率 为零， 表明 只要 引擎 被 击中 一次， 飞机 就会 坠落。 那么， 我们 会 得到 什么样 的 数据 呢？ 我们 会 发现， 在 胜利 返航 的 飞机 中， 机翼、 机身 与 机头 都 留有 弹 孔， 但是 引擎 上 却 一个 弹 孔 也 找 不到。 对于 这个 现象， 军方 有可能 得出 两种 分析 结果： 要么 德军 的 子弹 打中 了 飞机 的 各个 部位， 却 没有 打到 引擎； 要么 引擎 就是 飞机 的 死 穴。 这 两种 分析 都可以 解释 这些 数据， 而 第二 种 更有 道理。 因此， 需要 加装 装甲 的 是 没有 弹 孔 的 那些 部位。
美军 将 瓦 尔 德 的 建议 迅速 付诸实施， 我 无法 准确 地说 出 这条 建议 到底 挽救 了 多少 架 美军 战机， 但是 数据 统计 小组 在 军方 的 继任者 们 精于 数据 统计， 一定 很 清楚 这方面 的 情况。 美国 国防部 一直 认为， 打赢 战争 不能 仅靠 更勇敢、 更 自由 和 受到 上帝 更多 的 青睐。 如果 被 击落 的 飞机 比 对方 少 5%， 消耗 的 油料 低 5%， 步兵 的 给养 多 5%， 而 所 付出 的 成本 仅为 对方 的 95%， 往往 就会 成为 胜利 方。 这个 理念 不是 战争 题材 的 电影 要 表现 的 主题， 而是 战争 的 真实 写照， 其中 的 每一个 环节 都要 用到 数学 知识。
瓦 尔 德 拥有 的 空战 知识、 对 空战 的 理解 都 远不及 美军 军官， 但他 却能 看到 军官 们 无法 看到 的 问题， 这是 为什么 呢？ 根本 原因 是 瓦 尔 德 在 数学 研究 过程中 养成 的 思维习惯。 从事 数学 研究 的 人 经常 会 询问：“ 你的 假设 是什么？ 这些 假设 合理 吗？” 这样 的 问题 令人 厌烦， 但 有时 却 富有成效。 在这 个 例子 中， 军官 们 在 不经意 间做 出了 一个 假设： 返航 飞机 是 所有 飞机 的 随机 样本。 如果 这个 假设 真的 成立， 我们 仅 依据 幸存 飞 机上 的 弹 孔 分布 情况 就可以 得出 结论。 但是， 一旦 认识到 自己做 出了 这样 的 假设， 我们 立刻 就会 知道 这个 假设 根本 不 成立， 因为 我们 没有 理由 认为， 无论 飞机 的 哪个 部位 被 击中， 幸存 的 可能性 是 一样 的。 用 数学 语言 来说， 飞机 幸存 的 概率 与弹 孔 的 位置 具有 相关性。
对于数学家而言， 导致弹孔问题 的 是一 种 叫作“ 幸存者偏差”（ survivorship bias） 的 现象。
这种现象在现实生活里随处可见，资本市场中的“大师”巴菲特,战争结束后的将军等等。当代社会里有几个明星企业家，到处去演讲自己成功的秘诀，就像青年导师xxx写的那本书一样《我的成功可以复制》，呵呵，他们只不过是“幸存者”而已。
今天就写到这里，下一篇文章正式开始介绍毁你三观的数学课：线性思维。
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