机器学习-极大似然估计

极大似然估计方法在机器学习中用的非常多，是一个必须要掌握的知识点。在周志华《机器学习》中这一章讲的较为简略，以下我将用简单的例子解释下极大似然估计。

极大似然估计是什么意思？

似然（likelihood），其实就是可能性的意思。体重为5kg的猫是橘猫的可能性是多少？在这里我们称为体重为5kg是橘猫的似然是多少？

极大似然估计是一种统计学的方法，我们用已知的样本数据分布去推测具体的分布情况。（这句话有些复杂，不理解可以先看下面内容）

为什么我们要使用极大似然估计？

当我们使用机器学习解决具体现实问题时，我们是无法确切知道具体的数据分布情况的。例如我们现在想知道橘猫的体重分布，显然，我们是无法一只只去测的。这种情况在机器学习中非常普遍，那我们可不可以用部分已知数据去预测整体的分布呢？极大似然估计就是一个解决这类问题的方法。但是，这并不是绝对准确的，只能说实际情况最有可能接近这种猜测的分布。

使用极大似然估计方法的两个条件

1.我们假定数据服从某种已知的特定数据分布型。

2.我们已经得到了一定的数据集。

以下用我们估计橘猫体重的分布情况举例。

根据现实经验和科学道理，我们可以确切得到两个条件。

1.动物的体重分布是符合正态分布的。（也可以说我们假定它服从正态分布）

2.我们抓住了学校里所有的橘猫，得到了100只橘猫的体重。

那么如何用这100只橘猫的数据集D去推测橘猫具体的体重分布呢？

我们将这100只橘猫体重设为数据集D

D服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的正态分布（也叫高斯分布），记为：

                                                D∼N(μ,σ2)

这里有两个参数，期望μ决定了分布图形在坐标轴中的位置，σ决定了分布图形的幅度。（正态分布的图像根据参数都会有不一样的形态）

于是，我们最终要解决的问题就是如何确定参数μ和σ，为了方便起见我一们一般把参数写成一个参数向量θ=（μ，σ）。

我们把在参数向量θ下的正态分布下，某只一定体重的猫是橘猫的概率密度写做

我们将统计到的100只橘猫数据集D在参数向量θ下的正态分布下可能性用连乘处理

为什么我们要求L（θ）的最大呢？

如下图例子现在有三只猫，10kg，20kg，30kg他们都是橘猫，我们已经知道它们服从正太分布，那么基于目前手上的数据，到底是哪一种分布更可能呢？显然是左边的，因为根据实际情况，这种出现的可能性最大（你在一堆橘猫中随意抓，最容易抓到体重趋于中位的那些个体）。的确右边这种情况也是会出现的，极大似然估计并不是百分百准确，但在数据量足够的情况下，还是可信的。所以我们理应相信左边这种情况更加靠谱。

于是我们的目标就是关于L(θ)函数最大值时参数向量θ的取值

但在实际情况下我们会取对数

因为就我们上图这个简单的例子而言它的值就非常小了，实际情况更小，容易超出计算机的浮点范围，造成下溢。而且取ln相当于把连乘转化成累加，更加方便于求偏导计算极值。

根据分布函数不同，具体求解似然函数的过程也有所差异，这里不做讨论。