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代码背后的简单数学原理(1)

代码背后的简单数学原理(1)

作者: guanjianhe | 来源:发表于2018-04-22 10:47 被阅读0次

    问题

    NTSIZEOF 宏,获取类型占用的空间长度,最小占用长度为int的整数倍:
    #define _INTSIZEOF(n) ( (sizeof(n) + sizeof(int) - 1) & ~(sizeof(int) - 1) )
    

    引子

    问题1:假设有要把一批货物放到集装箱里,货物有12件,
    一个箱子最多能装6件货物,求箱子的数目。
    解答:显然我们需要12/6=2个箱子,并且每个箱子都是满的。

    问题2: 把问题1的条件改一下,假设一个箱子最多能装5件货物,那么现在的箱子数是多少?
    解答: 12/5=2.4个,但是根据实际情况,箱子的个数必须为整数,自然我们就要取3,
    下面把问题一般化

    问题3:设一个箱子最多可以装M件货物,且现有N件货物,
    则至少需要多少个箱子,给出一般的计算公式。
    这里要注意两点
    1、箱子的总数必须为整数
    2、N不一定大于M,很显然,即使N<=M,也需要一个箱子

    通项公式

    1、预备知识
    在讨论问题3的解答之前,我们先明确一下/运算符的含义。
    定义/运算为取整运算,即

    对任意两个整数N,M,必然有且只有唯一的整数X,满足
    X*M <= N < (X+1)*M,那么记N/M=X

    这个也正是C语言里/运算的确切含义。以后如无额外说明,/运算的含义均和本处一致。

    /运算有一个基本的性质

    若N=MX+Y,则N/M=X+Y/M

    注意:N不可以随便拆的,设N=A+B,那么一般情况下N/M 不一定等于 A/M+B/M,
    如果A和B至少有一个是M的倍数,才能保证式子一定成立。

    2、分步讨论
    根据上面的/运算符的定义,我们可以得到问题3的解答,分情况讨论一下
    已知N/M=X,那么当

    1. 当N正好是M的倍数时即N=M*X时,那么箱子数就是X=N/M
    2. 如果N不是M的倍数,即N=M*X+Y(1 <=Y<M)
      那么显然还要多一个箱子来装余下的Y件货物,
      则箱子总数为X+1 = (N/M)+1

    3、一般公式
    上面的解答虽然完整,但是用起来并不方便,因为每次都要去判断N和M的倍数关系,
    我们自然就要想一个统一的公式。于是,下面的公式出现了

    (N+M-1)/M

    公式推导:

    现在已经假定/运算的结果为取整(或者说取模),即
    N/M=X,则XM<=N<(X+1)M
    那么
    1.当N=MX时,(N+M-1)/M=MX/M+(M-1)/M=X
    2.当N=MX+Y(1 <=Y<M)
    1 <=Y<M,两边同时加上M-1,得到M <= Y-1+M <= 2M-1 <2M
    根据/运算的定义 (Y-1+M) /M = 1
    所以
    (N+M-1)/M = (MX+Y+M-1)/M = MX/M+(Y+M-1)/M= X+1 (1<=Y<M)

    显然 公式(N+M-1)/M与2中的分步讨论结果一致。

    问题解答

    有了上面的数学基础,我们再来看看开头的问题

    ((sizeof(n)+sizeof(int)-1)&~(sizeof(int)-1))

    这里,机器字长度sizeof(int)相当于箱子的容量M,变量的真实字节大小相当于货物总数N,整个代码就是求n所占的机器字数目。

    这里解释一下
    &~(sizeof(int)-1))
    它用到了位运算的技巧,即若M是2的幂,M=power(2,Y)

    N/M = N>>Y=(N&~(M-1))>>Y

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