神奇的乘法（一）

乘法是所有运算中最神奇的一种运算。

世界上有很多种乘法。

第一种乘法：便捷的加法

乘法，最早诞生的时候，是因为加法。太多相同的数字相加，为了简便一些，于是，发明了乘法这种运算。

也就是说，最早的乘法是为了计数用的。

举例来说：
有4堆果子，每堆5个，求一共有几个果子？
解答方法是：

读作“五乘以四” 或“四乘五”

最早，我小学一年级的老师就反复强调，这个式子读“五乘以四”，中间的乘号要读作“乘以”，表示次序，5在前面，4在后面，不可交换。

假如把乘号读做“乘”，那么，上面的式子应该倒过来读，读做“四乘五”。

为什么要求那么严格呢？
因为 5×4 表示 四个五相加;
而 4×5 表示 五个四相加。
尽管结果是相同的，但含义不一样。所以，不能随便交换。

后来乘法可以用来计量。
例如：茶叶蛋每个 1.5元，买6个茶叶蛋需要多少钱？
计算方法是：

1.5元/个 × 6个 = 9元

最早的时候，计算量，要求带单位。“每”字，被翻译成了一条分数线，也就是除法。前面除以“个”字，后面有乘以“个”字，于是，结果里就没有“个”字，只有“元”。

乘法算式中，前面的数字是被乘数，后面的是乘数。
到目前为止，乘数一定会是整数。

因为被乘数用来计量，乘数用来计数。

数和量的区别就是：
能计数的东西，可以用“个”做单位，在英文里是“可数”的，要用many来形容;
计量的东西，不方便用“个”做单位，在英文里是“不可数”的，要用much来形容。

计数的东西，一般用整数，1,2,3等等，一个一个数下去;
计量的东西，可以用小数或者分数，1.28公升之类。

所以，最早的乘法，乘数一定是整数。因为是用来计数的。作为加法的简便算法，乘数用来计数：有多少个相同的数量相加。

结论:最早的时候

（1）乘法是不可交换次序的

（2）被乘数可以是小数，也可以是整数;但乘数必须是整数

当然，毫无悬念，很多时候，乘法满足交换律。

第二种乘法：蕴藏着除法的乘法

有了分数，有了比例以后，人们过很久，才认识到，分数可以和小数转化，分数也可以和除法转化。
举例来说：
一张饼80元，那么半张就是40元。
最早的算法是 80÷2 = 40
后来发现，0.5×80 = 80 ×0.5 =40
于是，除以2同乘以0.5的效果一样。
于是，人们就广泛的使用交换律，乘数和被乘数的区分也不严格了，乘法可以表示除法。
“除以二”同“乘以二分之一”的意义一样。

这个时候，整数和分数都可以作为乘数。
乘法运算事实上进行了一次扩展，不再是单纯的计数加法，而是包含了除法（以及分数、小数、比例）在其中。

第三种乘法:负数的乘法

负数的乘法，在负数出现以前，是没有定义的。
出现负数以后，也只能被乘数是负数。
比如赊帐，每次赊帐 300,赊帐3次，可以写乘
（-300）×3 = -900
只有被乘数是负数，乘数必须是正数。

即使用交换律，参与运算的两个数字，必然还有一个是正的。

那么，负数乘以负数究竟有什么意义呢？“负负得正”的规则又从何而来呢？

这个最早的时候，在尝试了千百次以后，人们发现，“负”可以表示方向。假如规定，往东走是“正”，那么，往西走就是“负”。

而且，“负”还可以表示

改变方向

乘以-1,就改变了方向。

把东改成西，再改一次，又回来了。于是，直觉上就规定“负数乘以负数”，结果是一个正数。这个规定是公理性质的，没有理由，也没有原因。但很好用。

“负负得正”是硬性的规定，是所有人认可的。没有理由，没有原因。

正是这种规定，导致另一种数的难产，到后文再讨论。

第四种乘法：无理数的乘法

为何要把这些区分的如此严格？

因为，乘法本质上可以看做一个加工厂，把两个数字加工成一个数字。

肉类加工厂一般不加工蔬菜，加工金属的厂家一般也不加工木料。

类比的，数，也有很多种类。无理数就是其中很独特的一种，有理数的乘法怎能随随便便就开工了呢？

最早的无理数就是正方形的对角线长度。可以用尺子近似的测量，但无法用分数来精确表示。

这样一批无理数，来自勾股定理导致的开方运算。
乘法导致了乘方，乘方运算导致了开方运算，所以这样一批无理数，天生就适合作为乘数。因为，乘方运算是计数乘法运算的。

从几何上讲，这个数字是由于勾股定理制造出来的。

从代数上讲：
在出现负数以后，加法和减法统一了;
在出现分数以后，乘法和除法统一了;
在出现分数幂以后，乘方和开方也统一了。

可以看出来，乘法处于运算的核心地位，承上启下。

另外一批无理数，太神秘，如圆周率和自然对数底之类，暂且不讨论。

第五种乘法：阶乘以及幂

幂运算的次数，最早都只能是整数。同被乘数的道理一样，是计数用的。表示有多少个一样的数字相乘。

后来发现，分数作为幂指数正好表示开方;负数作为幂指数正好表示倒数。

而这些，幂指数都是有理数。

在指数函数出现以后，无理数才可能出现在指数的位置上。无理数幂指数作为有理数幂指数的极限状态而存在。

阶乘，是像上楼梯一样的乘法：

表示从最大的一个数，往下乘，乘到1为止。
阶乘的增长速度非常快。

按照这个演示，参与阶乘的数字，总应该是整数了吧。

但是，事实上，并非如此。

因为阶乘也被扩展了，成为欧拉的 Γ函数

在自然数n作为自变量的情况下，Γ函数产生n-1的阶乘。

把阶乘函数的点画在坐标系上，用光滑的曲线连起来，这曲线的函数就是Γ函数了。欧拉完成阶乘的插值，所以Γ函数诞生了。

因此，直观上看，Γ函数表示的也是一种乘法，与阶乘类似的乘法。

从定义上看，明显有：

其中，z=1,2,3...
欧拉通过解这个方程，完成了对Gamma函数的插值。

对于所有x>0的实数，都成立。

Gamma函数意味着，阶乘，这样一种独特的乘法，能够操作任意的实数。事实上，同普通乘法一样，最终扩展到了复数。