算法-递归

什么是递归？

简单的说就是自己调用自己，用一个生活中的例子来解释就是，假设你有天和女朋友去电影院看电影，你女朋友问你们现在坐的是第几排，但是现在很黑看不清，然后你问你前面的人现在是第几排，前面的人也看不清他就问他前面的人，直到问到第一排的那个人，然后第一排的人再往回传直到告诉你。这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。所有的递归问题都可以用递推公式来表示。f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1 f(n)表示你想知道自己在哪一排，f(n-1)表示前面一排所在的排数，f(1)=1表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松地将它改为递

归代码，如下:

int f(int n) {
 if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解,子问题就是数据规模更小的问题。
2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3. 存在递归终止条件

如何编写递归代码?

递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下将递推公式转化为代码就很简单了。举一个例子🌰

假如这里有n个台阶，每次你可以跨1个台阶或者2个台阶，请问走这n个台阶有多少种走法?如果有7个台阶，你可以2，2，2，1这样子上去，也可以1，2，1，1，2这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢?

我们仔细想下，实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了1个台阶，另一类是第一步走了2个台阶。所以n个台阶的走法就等于先 走1阶后，n-1个台阶的走法 加上先走2阶后，n-2个台阶的走法。用公式表示就是:

file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/10递归:如何用三行代码找到“最终推荐人”?.html[2019/1/15 15:35:23]

10|递归:如何用三行代码找到“最终推荐人”?

f(n) = f(n-1)+f(n-2) 有了递推公式，递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。当有一个台阶时，我们不需要再继续递归，就只有一种走法。所以f(1)=1。这个递归终止

条件足够吗?我们可以用n=2，n=3这样比较小的数试验一下。 n=2时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个f(1)=1，那f(2)就无法求解了。所以除了f(1)=1这一个递归终止条件外，还要有f(0)=1，表示走0个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以，我们可以把f(2)=2作为一种终止条件，表示走2个台阶，有两种走法，一步走完或者分两步来走。 所以，递归终止条件就是f(1)=1，f(2)=2。这个时候，你可以再拿n=3，n=4来验证一下，这个终止条件是否足够并且正确。

我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:

f(1) = 1;
 f(2) = 2;
 f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了这个公式，我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:

int f(int n) {
 if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2;
return f(n-1) + f(n-2);
}

递归代码要警惕堆栈溢出

函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈 或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

比如前面的讲到的电影院的例子，如果我们将系统栈或者JVM堆栈大小设置为1KB，在求解f(19999)时便会出现如下堆栈报错: Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

我们可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度(比如1000)之后，我们就不继续往下再递归了，直接返回报 错。还是电影院那个例子，我们可以改造成下面这样子，就可以避免堆栈溢出了。不过，我写的代码是伪代码，为了代码简洁，有些边界条件没有考虑，比

int depth = 0;

int f(int n) {
 ++depth;
 if (depth > 1000) throw exception;
if (n == 1) return 1; 
return f(n-1) + 1;
}

递归代码要警惕重复计算

为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的f(k)。当递归调用到f(k)时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算。

怎么将递归代码改写为非递归代码?

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁;而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗 时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。那我们是否可以把递归代码改写为非递归代码呢?比如刚才那个电影院的例子，我们抛开场景，只看f(x) =f(x-1)+1这个递推公式。我们这样改写看看:

i

int f(int n) {
 int ret = 1;
 for (int i = 2; i <= n; ++i) { }ret = ret + 1;
return ret;
}

同样，第二个例子也可以改为非递归的实现方式。

int f(int n) {
 if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2;
int ret = 0;
 int pre = 2;
 int prepre = 1;
 for (int i = 3; i <= n; ++i) {
ret = pre + prepre;
prepre = pre; }pre = ret;
return ret;
}