二项分布的假设检验

2017年5月9日

一天，小明跟小黄说，他能够分辨出可口可乐和百事可乐。小黄第一反应就是不信，因为他觉得可口可乐和百事可乐味道几乎没有区别，还有就是小明经常吹牛。小黄这次想探究下，到底小明这次到底是不是在吹牛。

小黄机智地设置了这么一个实验。他买了两大瓶可乐，一瓶可口，一瓶百事。分别分成了20杯，然后每次拿一杯可口、一杯百事放到小明面前，让小明分辨哪一杯是可口可乐。这么试验了下来，20次里面，小明答对了15次。小明说："看，我有能力分辨吧，20次才错了5次。那5次只是不小心而已。"小黄说："平均来说瞎猜能猜对10次，你猜对15次，只是你运气好而已，其实你根本分辨不出两种可乐。"

两人争执不下。

后来，小黄思考了一下，争执的点有两个：

（1）到底能有多大把握认为小明是瞎猜的？

（2）如果再让小明分辨一组可乐，他成功的把握有多大？

私下里学习了一下统计学知识，找到了问题的答案。

先假设小明是瞎猜的，那么小明猜对的次数X服从二项分布。可以根据二项分布的密度函数求出小明猜对0~20次的概率。

从图中的"累计概率"可以看出，如果是瞎猜的话，猜中15次及以上的概率是（1-0.9793）≈0.02。也就是说，仅凭瞎猜，猜对15次及以下的概率极小（大约2%），基本上可以认为小明不是瞎猜的。用心看一下表格就可以知道，只要小明猜对14次及以上，我们就有94%以上的把握断定小明不是瞎猜的。

虽然小明不是瞎猜的，但是他20次只对了15次，那么做单次实验，他猜对的概率是多大呢？

我们知道，伯努利分布的情况下，多次实验之后，频数对接近于概率。从已有的实验数据，我们可以猜测，小明猜对的概率是15/20=75%。

从统计学的角度来说，这是二项分布的参数p的假设检验。

后面我还会写假设检验。