概述
扔鸡蛋问题是一道非常经典的面试题,Google、百度、腾讯等大厂都使用过,此题有多个变体版本,扩展性很强,解决思路有多种,下面一起来探讨吧!
标准版面试题
题目描述
有2个鸡蛋，从100层楼上往下扔，以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎，在第10层摔碎了，那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。
问：如何用最少的尝试次数，测试出鸡蛋不会摔碎的临界点？
举例:
举个栗子，最笨的测试方法是什么样呢？
把其中一个鸡蛋从第1层开始往下扔。
如果在第1层没碎，换到第2层扔
如果在第2层没碎，换到第3层扔
.......
如果第59层没碎，换到第60层扔
如果第60层碎了，说明不会摔碎的临界点是第59层
在最坏情况下，这个方法需要扔100次。
方法一:二分法
初看此题,部分同学可能会觉得,这不就相当于从1-100中,找到某个数么?采用二分法最快,下面我们推演一番
采用类似于二分查找的方法，把鸡蛋从一半楼层（50层）往下扔。
如果第一枚鸡蛋在50层碎了，第二枚鸡蛋就从第1层开始扔，一层一层增长，一直扔到第49层。
如果第一枚鸡蛋在50层没碎了，则继续使用二分法，在剩余楼层的一半（75层）往下扔......
这个方法在最坏情况下，需要尝试50次(100/2)。
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方法二:平方根法
如何让第一枚鸡蛋和第二枚鸡蛋的尝试次数尽可能均衡呢？
很简单，做一个平方根运算，100的平方根是10。
因此，我们尝试每10层扔一次，第一次从10层扔，第二次从20层扔，第三次从30层......一直扔到100层。
这样的最好情况是在第10层碎掉，尝试次数为 1 + 9 = 10次。
最坏的情况是在第100层碎掉，尝试次数为 10 + 9 = 19次。
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这里有一个优化点,比如我们可以从15层开始扔,接下来25,35....一直到95层,最快情况下是第95层碎掉,尝试次数为 9+9 = 18次
方法三:解方程法
中学开始,同学们都学过方程,假设存在一个未知数X满足条件,根据已知条件列出一元n次方程,求解,下面我们根据题目描述,推出这个方程式
假设问题存在最优解(扔鸡蛋过程),这个解的最坏情况尝试次数是x次,那么,我们第一次扔鸡蛋该选择哪一层?
恰恰是从第x层开始扔,选择更高一层或是更低一层都不合适
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为什么第一次扔就要选择第x层呢?
这里的解释也是通过假设法,然后演绎,有些烧脑,小伙伴们坚持住:
假设第一次扔在第x+1层(比x大):
如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x层。
这样一来，我们总共尝试了x+1次，和假设尝试x次相悖。由此可见，第一次扔的楼层必须小于x+1层。
假设第一次扔在第x-1层(比x小)：
如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-2层。
这样一来，我们总共尝试了x-2+1 = x-1次，虽然没有超出假设次数，但似乎有些过于保守。
假设第一次扔在第x层：
如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-1层。
这样一来，我们总共尝试了x-1+1 = x次，刚刚好没有超出假设次数。
因此，要想尽量楼层跨度大一些，又要保证不超过假设的尝试次数x，那么第一次扔鸡蛋的最优选择就是第x层。
以上都是假设+逻辑推理,并没有经过严格的数学证明,我们也不是数学家
归纳
如果第一次扔鸡蛋没有碎,我们的尝试消耗了一次,问题就转化成了两个鸡蛋在100-x层楼往下扔,要求尝试次数不得超过x-1次
所以第二次尝试的楼层跨度是x-1层,绝对楼层是x+(x-1)层
同理,如果鸡蛋还没有碎,第三次楼层跨度是x-2,第四次是x-3
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小伙伴们,到此看出了规律没?根据总结,可以列出一个楼层数的方程式:
x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100
下面我们来解这个这个方程:
(x+1)*x/2 = 100
最终x向上取整,得到 x=14
因此，最优解在最坏情况的尝试次数是14次，第一次扔鸡蛋的楼层也是14层。
最后，让我们把第一个鸡蛋没碎的情况下，所尝试的楼层数完整列举出来：
14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100
举个栗子验证下：
假如鸡蛋不会碎的临界点是65层，那么第一个鸡蛋扔出的楼层是14，27，50，60，69。这时候啪的一声碎了。
第二个鸡蛋继续，从61层开始，61，62，63，64，65，66，啪的一声碎了。
因此得到不会碎的临界点65层，总尝试次数是 6 + 6 = 12 < 14 。
进阶版面试题
题目描述
你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？
示例1:
输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例2:
输入：K = 2, N = 6
输出：3
示例3:
输入：K = 3, N = 14
输出：4
提示:
1. 1 <= K <= 100
2. 1 <= N <= 10000
动态规划求出扔鸡蛋问题的通解 1
什么是动态规划?
动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划解决问题的过程分为两步：
1.寻找状态转移方程式
2.利用状态转移方程式自底向上求解问题
如何找到状态转移方程式?
在标准版问题中,两个鸡蛋100层楼的条件下,我们找到的规律:
假设存在最优解,在最坏情况下尝试次数是x,那么第一个鸡蛋首次扔出的楼层也是x
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这个规律在三个以上鸡蛋的条件下还能否适用呢?
假设有三个鸡蛋，100层楼，第一个鸡蛋扔在第10层并摔碎了。这时候我们还剩下两个鸡蛋，因此第二个鸡蛋不必从底向上一层一层扔，而是可以选择在第5层扔。如果第二个鸡蛋也摔碎了，那么第三个鸡蛋才需要老老实实从第1层开始一层一层扔。
这样一来，总的尝试次数是1+1+4 = 6 < 10(最少次数)。
因此，最优解的最坏情况下尝试次数是 X，鸡蛋首次扔出的楼层也是 X 这个规律不再成立。
那么,我们如何寻找规律呢?
在这里,我们把M层楼/N个鸡蛋的问题,抽象成一个黑盒子函数F(M,N),楼层数M和鸡蛋数N是函数的两个参数,函数的返回值是最优解的最大尝试次数
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假设我们第一个鸡蛋扔出的位置在第X层（1<=X<=M），会出现两种情况：
1.第一个鸡蛋没碎
那么剩余的M-X层楼，剩余N个鸡蛋，可以转变为下面的函数：
F（M-X，N）+ 1，1<=X<=M
2.第一个鸡蛋碎了
那么只剩下从1层到X-1层楼需要尝试，剩余的鸡蛋数量是N-1，可以转变为下面的函数：
F（X-1，N-1） + 1，1<=X<=M
整体而言，我们要求出的是 N层楼 / K个鸡蛋 条件下，最大尝试次数最小的解，所以这个题目的状态转移方程式如下：
X可以为1......N,所以有M个Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）的值,最终F(N,K)是这M个值中的最小值,即最优解
F（N，K）= Min（Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）），1<=X<=N
如何进行求解?
状态转移方程式有了，如何计算出这个方程式的结果呢？
诚然，我们可以用递归的方式来实现。但是递归的时间复杂度是指数级的，当M和N的值很大的时候，递归的效率会变得非常低。
根据动态规划的思想，我们可以自底向上来计算出方程式的结果。
何谓自底向上呢？让我们以3个鸡蛋，4层楼的情况为例来进行演示。
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根据动态规划的状态转移方程式和自底向上的求解思路，我们需要从1个鸡蛋1层楼的最优尝试次数，一步一步推导后续的状态，直到计算出3个鸡蛋4层楼的尝试次数为止。
首先，我们可以填充第一个鸡蛋在各个楼层的尝试次数，以及任意多鸡蛋在1层楼的尝试次数。
原因很简单：
1.只有一个鸡蛋，所以没有任何取巧方法，只能从1层扔到最后一层，尝试次数等于楼层数量。
2.只有一个楼层，无论有几个鸡蛋，也只有一种扔法，尝试次数只可能是1。
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按照上面的方程式,代入计算,得出下面的结果。具体计算过程就不细说了
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代码实现
根据刚才的思路,代码初步实现:
func superEggDrop(K, N int) int {
if K < 1 || N < 1 {
return 0
}
//备忘录，存储K个鸡蛋，N层楼条件下的最优化尝试次数
//cache := [K + 1][N + 1]int{}
cache := make([][]int, K+1)
//把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数
for i := 0; i <= K; i++ {
cache[i] = make([]int, N+1)
for j := 1; j <= N; j++ {
cache[i][j] = j
}
}
for n := 2; n <= K; n++ {
for m := 1; m <= N; m++ {
//假设楼层数可以是1---N,
min := cache[n][m]
for k := 1; k < m; k++ {
//M层,N鸡蛋,F（N，K）= Min（Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）），1<=X<=N
//(动态规划)
//鸡蛋碎了
max := cache[n-1][k-1] + 1
if cache[n][m-k]+1 > max {
max = cache[n][m-k] + 1 //鸡蛋没碎
}
if max < min {
min = max
}
}
cache[n][m] = min
}
}
return cache[K][N]
}
三层循环,时间复杂度是O(K*N*N)
二维数组:空间复杂度是O(M*N)
时间复杂度太高,无法通过leetcode的测试用例,一直超时
动态规划求出扔鸡蛋问题的通解 2
上面的解决办法,时间复杂度相当高,那么是否存在更快的算法呢?
上面的算法中,主要在于三层for循环,需要假设第一次扔鸡蛋分别从第1.....N层
有没有一种算法,结合归纳演绎和动态规划的思想,在这里可以进一步抽象?
假设移动x次,k个鸡蛋,最优解的最坏条件下可以检测n层楼,层数n=黑箱子函数f(x,k)
假设从n0+1层丢下鸡蛋,
1,鸡蛋破了
剩下x-1次机会和k-1个鸡蛋,可以检测n0层楼
2, 鸡蛋没破
剩下x-1次机会和k个鸡蛋,可以检测n1层楼
那么 临界值层数F在[1,n0+n1+1]中的任何一个值,都都能被检测出来
归纳的状态转移方程式为:f(x,k) = f(x-1,k-1)+f(x-1,k)+1,即x次移动的函数值可以由x-1的结果推导,这个思路很抽象,需要花时间去理解,具体看代码,对照着代码理解
可以简化为黑箱子函数的返回值只跟鸡蛋个数k有关系:
本次fun(k) = 上次fun(k-1)+上次fun(k)+1
代码实现
时间复杂度是O(K*moves),跟楼层数无关(楼层数N的值相对很大)
func superEggDrop(K, N int) int {
moves := 0
dp := make([]int, K+1) // 1 <= K <= 100
// dp[i] = n 表示， i 个鸡蛋，利用 moves 次移动，最多可以检测 n 层楼
for dp[K] < N {
for i := K; i > 0; i-- {
//逆序从K---1,dp[i] = dp[i]+dp[i-1] + 1 相当于上次移动后的结果,dp[]函数要理解成抽象出来的一个黑箱子函数,跟上一次移动时鸡蛋的结果有关系
dp[i] += dp[i-1] + 1
// 以上计算式，是从以下转移方程简化而来
// dp[moves][k] = 1 + dp[moves-1][k-1] + dp[moves-1][k]
// 假设 dp[moves-1][k-1] = n0, dp[moves-1][k] = n1
// 首先检测，从第 n0+1 楼丢下鸡蛋会不会破。
// 如果鸡蛋破了，F 一定是在 [1：n0] 楼中，
// 利用剩下的 moves-1 次机会和 k-1 个鸡蛋，可以把 F 找出来。
// 如果鸡蛋没破，假如 F 在 [n0+2:n0+n1+1] 楼中
// 利用剩下的 moves-1 次机会和 k 个鸡蛋把，也可以把 F 找出来。
// 所以，当有 moves 个放置机会和 k 个鸡蛋的时候
// F 在 [1, n0+n1+1] 中的任何一楼，都能够被检测出来。
}
moves++
}
return moves
}
总结
- 对于类似的智力题,如果不能想出其它办法,我们可以采用先假设存在某个满足结果的最优解x,然后代入上下文进行分析问题,归纳演绎,找出规律
- 对于很复杂的问题,可能需要非常发散的思维,对算法进行高度抽象化
- 思考问题的过程很烧脑,与君共勉!
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- 笔者会一直维护该项目,对leetcode中的算法题进行解决,并写下自己的思路和见解,致力于人人都能看懂的算法
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