像ｘ一样思考

      为未来而学，就要培养学生多元的思维能力，要培养学生像ｘ一样思考。这里的ｘ可以是科学家、数学家、历史学家、艺术家或者类似的专业人士。培养学生从不同的思维方式探究各种具有生活价值的学习，重点学习与应用如下三种认知。

        一是欧几里得式认知。在广义上讲就是猜想与证明。一方面，猜想即提出力图证明的观点；另一方面，以定义、公理、已证实的定理广泛概括各种对象加以证明。主要通过描述、论证、解释和应用。欧几里得式论证方式就是从定义、公理和已证实的定理出发的形式演绎。

      二是培根式认知。是从假设开始，即从基于观察和思考提出一个概括性的命题。如果假设可以在许多情景中发挥作用，那么我们就暂时认可它。但是必须十分谨慎。以培根式认知来看待问题，就算是确信无疑的事物也有可能会出错。不像欧几里得式认知方式，确认的就不容有疑问。培根式认知更强调探究世界。借助这种理论，我们可以预测自己应当观察什么，并尝试是否能有所发现。由此可见，为了掌握欧几里得式认知和培根式认知，学习者必须投入到猜想和假设的过程中，而不仅是证明和收集证据。

          不同学科代表不同的认知方式。欧几里得式认知只是数学认知的一个方面，除此之外还有数学建模。数学建模始于具体情境，（水资源需求、车流量与交通拥堵、可观测的行星运动，经济繁荣与萧条的模式等），进而试图通过建构数学模型来描述现实情境，并通过数学推理得出各种含义及预测，最后再回归现实生活，例如创设一份水资源管理计划、验证交通状况是否符合预期等。

        三是牛顿式认知。数学物理学家牛顿利用自己发现的万有引力定律来建构行星的运动轨迹模型，我们称作“牛顿式认知”牛顿的数学建模方式与培根的探究世界方式交织在一起，构成了科学探究。

      总之，学习数学的要点不仅在于掌握便利的算术、几何、代数原理。如果方法适宜，那么数学学习就有利于超越具体的内容、超越伟大的欧几里得式认知或牛顿式认知，进而形成全局性理解和开放性问题。

      作为教师，我们可以更早地向学生介绍如上三种认知方式，对学生来说是非常宝贵的学习经历，也有利于学生更好地理解整个学科，从而促进学生更深入地学习。