卡方检验

概念
卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法，由卡尔·皮尔逊提出。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。

** 例一**

我们想知道喝牛奶对感冒发病率有没有影响，以下为数据统计的四格表：

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通过简单的统计我们得出喝牛奶组和不喝牛奶组的感冒率为30.94%和25.00%，两者的差别可能是抽样误差导致，也有可能是牛奶对感冒率真的有影响。

为了确定真实原因，我们先假设喝牛奶对感冒发病率是没有影响的，即喝牛奶喝感冒时独立无关的，所以我们可以得出感冒的发病率实际是（43+28）/（43+28+96+84）= 28.29%

所以，理论的四格表应该如下表所示：

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即下表：

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如果喝牛奶喝感冒真的是独立无关的，那么四格表里的理论值和实际值差别应该会很小。

那如何来描述这种差别呢，我们定义卡方值为

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其中，A为实际值，T为理论值。

x2用于衡量实际值与理论值的差异程度（也就是卡方检验的核心思想），包含了以下两个信息：

1. 实际值与理论值偏差的绝对大小（由于平方的存在，差异是被放大的）
2. 差异程度与理论值的相对大小

根据卡方检验公式我们可以得出例1的卡方值为：

卡方 = (43 - 39.3231)平方 / 39.3231 + (28 - 31.6848)平方 / 31.6848 + (96 - 99.6769)平方 / 99.6769 + (84 - 80.3152)平方 / 80.3152 = 1.077

卡方值（理论值与实际值差异大小）的意义是什么呢？为此我们再引入一个概念：

卡方分布的临界值

上一步我们得到了卡方的值，但是如何通过卡方的值来判断喝牛奶和感冒是否真的是独立无关的？也就是说，怎么知道无关性假设是否可靠？

答案是，通过查询卡方分布的临界值表。

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第一行表示显著性水平α
第一列表示自由度

这里需要用到一个自由度的概念，自由度等于V = (行数 - 1) * (列数 - 1)，对四格表，自由度V = 1。

对V = 1，喝牛奶和感冒（95%概率）不相关的卡方分布的临界值（最大）是：3.84。即如果卡方大于3.84，则认为喝牛奶和感冒（有95%的概率）相关。

临界值3.84的意义表示：如果卡方值＞3.84，则纵列因素与横行因素不相关的的概念＜0.05（即显著性水平），也即纵列因素与横行因素相关的概念＞0.95。

显然1.077<3.84，没有达到卡方分布的临界值，所以喝牛奶和感冒独立不相关的假设没有被推翻。

简单说，如果我们计算出的卡方值（表示实际值与理论值的差异，越大表示实际值与理论值越不符，即越有可能纵列因素会影响横行数值）大于临界值（列因素不影响横行值的范围：0~临界值），我们就排斥原假设（H0，即纵列因素不影响横行的因素的变化），接受备择假设（H1：纵列因素对横行的因素变化有影响）；反之，卡方值小于临界值，即在（纵列与横行互不影响这一假设）理论范围内，无法推翻原假设，即无统计差异。

作者：云中瑞麟
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作者：草野py
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