树(Tree)的基本概念

• 节点、根结点、父节点、子节点、兄弟节点
• 一棵树可以没有任何节点,称为空树
• 一棵树可以只有一个节点,也就是只有根节点
• 子树、左子树、右子树

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• 节点的度（degree）：子树的个数
• 树的度：所有节点中的最大值
• 叶子节点（leaf）：度为0的节点

• 非叶子节点：度不为0的节点

  
  树形结构

• 层数（level）：根节点在第一层，根节点的子节点在第二层，以此类推
• 节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
• 节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
• 树的深度：所有节点深度中的最大值
• 树的高度：所有节点高度中的最大值

• 树的深度等于树的高度

  
  

有序树、无序树、森林

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为“自由树”
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合

二叉树（Binary Tree）

• 二叉树的特点
  每个节点的度最大为2（最多拥有2棵子树）
  左子树和右子树是有顺序的
  即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

• 二叉树是有序树

  
  
• 二叉树的性质
  1.非空二叉树的第i层，最多有2^i−1 个节点(i ≥ 1)
  2.在高度为h的二叉树上最多有2^h−1 个节点(h ≥ 1)
  3.对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有:n0 = n2 + 1
  1.）假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
  2.）二叉树的边数 T = n1 + 2 * n2 = n – 1 = n0 + n1 + n2 – 1
  3.）因此 n0 = n2 + 1

真二叉树（Proper Binary Tree）

• 真二叉树：所有节点的度要么为0，要么为2

  
  

满二叉树（Full Binary Tree）

• 满二叉树：最后一层节点的度都为0，其他节点的度都为2

• 假设满二叉树的高度为h（h ≥ 1），那么
  1.第i层的节点数量：2^i-1
  2.叶子节点数量：2^h-1
  3.总节点数量n

  • n = 2^h − 1 = 2^0 + 2^1 + 2^3 + …… + 2^h-1
  • h =

• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、中节点数量最多

• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

  
  

完全二叉树

◼ 完全二叉树:对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
◼叶子节点只会出现最后 2 层，最后 1 层的叶子结点都靠左对齐
◼完全二叉树从根结点至倒数第 2 层是一棵满二叉树
◼ 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树的性质

• 度为 1 的节点只有左子树

• 度为 1 的节点要么是 1 个，要么是 0 个

• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小

• 假设完全二叉树的高度为h（h ≥ 1 ），那么

  • 至少有2h−1 个节点(20+21+22+⋯+2h−2+1)
  • 最多有2h − 1个节点(20+21+22+⋯+2h−1，满二叉树)
  • 总节点数量为 n
    ✓2h−1
    ✓h −1≤<h
    ✓h= floor() + 1
    ➢floor 是向下取整，另外，ceiling 是向上取整

• 一棵有 n 个节点的完全二叉树(n > 0)，从上到下、从左到右对节点从 1 开始进行编号，对任意第 i 个节点
  1.如果i = 1 ，它是根节点
  2.如果i > 1， 它的父节点编号为floor（i / 2）
  3.如果 2i ≤ n ，它的左子节点编号为 2i
  4.如果 2i + 1 ≤ n ，它的右子节点编号为 2i + 1
  5.如果 2i + 1 > n ，它无右子节点

• 一棵有 n 个节点的完全二叉树(n > 0)，从上到下、从左到右对节点从 0 开始进行编号，对任意第 i 个节点
  1.如果 i = 0 ，它是根节点
  2.如果 i > 0 ，它的父节点编号为 floor( (i – 1) / 2 )
  3.如果 2i + 1 ≤ n – 1 ，它的左子节点编号为 2i + 1
  4.如果 2i + 1 > n – 1 ，它无左子节点
  5.如果 2i + 2 ≤ n – 1 ，它的右子节点编号为 2i + 2
  6.如果 2i + 2 > n – 1 ，它无右子节点