二叉树基本知识
本文主要介绍二叉树的基本概念和分类。如有不正确之处请多指正。
树的相关定义
什么是树
树是 N 个结点的有限集。 N = 0，表示空数。在任意一个非空树中：
- 有且仅有一个特定的称为根的节点。
- 当 n > 1 时，其余节点可分为 m (m > 0) 个互不相交的有限集，T1,T2,T3...Tm,其中每个集合本身又是一棵树，并且称为当前根的子树。
结点的定义及分类
- 数的结点：是包含一个数据元素及若干指向其字数的分支。
- 度（Degree）： 结点拥有的子树称为结点的度（Degree）。
- 叶子结点（Leaf）： 度为 0 的结点称为叶子结点。
- 分支结点：度不为 0 的结点。也称为非终端结点或内部结点（除根结点外）
- 树的度： 树的度是树内各分支结点的度的最大值。
[图片上传失败...(image-f9353e-1517361905227)]
结点间的关系
- 孩子&双亲： 结点的子树的根称为该节点孩子，相应的该结点称为孩子的双亲（Parent）。
- 兄弟（Sibling）：同一个双亲的孩子之间互相称为兄弟。
- 祖先：结点的祖先是从根到该节点所经历分支上的所有结点，这里注意从跟到某个特定的结点有且只有一条路径（原因在于数的定义中不相交的特点）。如上图 J 的祖先只有 E C A 而没有 F。
- 子孙：以某个结点为根的子树中的任意一个结点都成为改结点的子孙。如上图 B 的子孙有 D G H I。
树的其他概念：
- 结点的层级（Level）：定义根为第一层，跟的孩子为第二层，孩子的孩子为第三层。一次类推。
- 树的深度（Depth）： 书中结点的最大层次为树的深度，也称为树的高度。注意区分度与深度。
- 有序树 & 无序树: 如果树中结点的各个子树看成从左到右是有次序的，不能互换的则概述称为有序树，否则为无序树。即左右子树（这里假设只有左右两个孩子），不能调换位置，如果调换位置则不再是原来的树。
- 森林： 若干个不相交的树的集合。
树的三种表示方法：
- 双亲表示法。
- 孩子表示法。
- 孩子兄弟表示法。
双亲表示法
在每个结点中，设有一个指示器指向其双亲结点到链表中的位置。数据结构为：
public class MNode<E> {
private E data;//数据域
private int parent;//双亲的位置
}
这种结构却可以轻松找出指定节点的父节点，但当要找出某节点的所有子节点需要遍历整个树，时间花费长。
孩子表示法
每个结点有多个指针域，其中每个指针域指向该结点子树的根节点。
由于上述两种方式不常用就不过多介绍。想知道详细的双亲表示法，孩子表示法表示一个树的代码请自行网上搜索或者参考： 数据结构与算法Java版——树的两种表现方式 。
孩子兄弟表示法：
这种数据存储方式最为常用：
任意一颗树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，他的右兄弟也是唯一的。我们设置一个指针，分别指向该节点的左孩子和右孩子 则这种表示法方式为孩子兄弟表示方法
代码表示如下
class Node<T>{
T data;
Node<T> leftChild;
Node<T> rightChild;
}
树的常见类型
- 二叉树 (Binary Tree) ：是 n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两个互不相交的，分别称为改根节点的左子树和右子树的子树组成。
-
完全二叉树 (Complete Binary Tree) ： 具有 n 个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置相同，则该二叉树称为完全二叉树。 定义很繁琐但是要知道如何判断一个数是否是完全二叉树：
- 叶子结点只能出现在最下边两层（不信你自己画画）。
- 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
- 倒数第二层，若有叶子结点，则一定都在根节点右子树的的连续位置。
- 如果结点的度为1，则该节点只有左孩子没有右孩子。即不存在只有右孩子的情况
- 同样结点数的二叉树，完全二叉树深度最小。
- 如果想判断一个数是不是完全二叉树，只需按照层级从左到右连续编号，如果编到最后一个节点前号码不连续了，则该树肯定不是完全二叉树。
- 满二叉树 (Full Binary Tree) ： 如果一个二叉树中所有分支的节点都存在左子树和右子树，且叶子都在同一层上，则改树为完全二叉树。满二叉树用数组表示方法最为合适，因为数组角标即为结点在二叉树中的位置。
-
二叉搜索树 (Binary Search Tree)： 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，也可以称为二叉排序树，二叉查找树。除了具有二叉树的基本性质外，它还具备：
- 树中每个节点最多有两个子树，通常称为左子树和右子树
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
- 它的左右子树仍然是一棵二叉搜索树 (recursive)
如下图：
搜索二叉树
网友评论