前言
春节之前，更新了一篇博客 Android 启动优化（一） - 有向无环图，反响还不错，今天，让我们一起来看一下，怎样用代码实现有向无环图。
基本概念
拓扑排序的英文名是 Topological sorting。
拓扑排序要解决的问题是给一个图的所有节点排序。有向无环图才有拓扑排序，非有向无环图没有。
换句话说，拓扑排序必须满足以下条件
图必须是一个无环有向图。序列必须满足的条件：
-
每个顶点出现且只出现一次。
-
若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
实战
我们已 leetcode 上面的一道算法题目作为切入点进行讲解。
leeocode 210: https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule-ii/
eg: 现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。
可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。
示例 1
1输入: 2, [[1,0]]
2输出: [0,1]
3解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2
1输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
2输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
3解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
4 因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
这道题，很明显，看起来可以有有向无环图的解法来解决
BFS 算法
题目分析
我们首先引入有向图 描述依赖关系
示例：假设 n = 6，先决条件表：[ [3, 0], [3, 1], [4, 1], [4, 2], [5, 3], [5, 4] ]
-
0, 1, 2 没有先修课，可以直接选。其余的，都要先修 2 门课
-
我们用 有向图 描述这种 依赖关系 (做事的先后关系)：
在有向图中，我们知道，有入度和出度概念：
如果存在一条有向边 A --> B，则这条边给 A 增加了 1 个出度，给 B 增加了 1 个入度。所以顶点 0、1、2 的 入度为 0。顶点 3、4、5 的 入度为 2
BFS 前准备工作
-
我们关心 课程的入度 —— 该值要被减，要被监控
-
我们关心 课程之间的依赖关系 —— 选这门课会减小哪些课的入度
-
因此我们需要合适的数据结构，去存储这些关系,这个可以通过哈希表
解题思路
-
维护一个 queue，里面都是入度为 0 的课程
-
选择一门课，就让它出列，同时 查看哈希表，看它 对应哪些后续课
-
将这些后续课的 入度 - 1，如果有减至 0 的，就将它推入 queue
-
不再有新的入度 0 的课入列 时，此时 queue 为空，退出循环
1 private class Solution {
2 public int[] findOrder(int num, int[][] prerequisites) {
3
4 // 计算所有节点的入度，这里用数组代表哈希表，key 是 index， value 是 inDegree[index].实际开发当中，用 HashMap 比较灵活
5 int[] inDegree = new int[num];
6 for (int[] array : prerequisites) {
7 inDegree[array[0]]++;
8 }
9
10 // 找出所有入度为 0 的点，加入到队列当中
11 Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
12 for (int i = 0; i < inDegree.length; i++) {
13 if (inDegree[i] == 0) {
14 queue.add(i);
15 }
16 }
17
18 ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
19 while (!queue.isEmpty()) {
20 Integer key = queue.poll();
21 result.add(key);
22 // 遍历所有课程
23 for (int[] p : prerequisites) {
24 // 改课程依赖于当前课程 key
25 if (key == p[1]) {
26 // 入度减一
27 inDegree[p[0]]--;
28 if (inDegree[p[0]] == 0) {
29 queue.offer(p[0]); // 加入到队列当中
30 }
31 }
32 }
33 }
34
35 // 数量不相等，说明存在环
36 if (result.size() != num) {
37 return new int[0];
38 }
39
40 int[] array = new int[num];
41 int index = 0;
42 for (int i : result) {
43 array[index++] = i;
44
45 }
46
47 return array;
48 }
49 }
DFS 解法
算法思想
-
对图执行深度优先搜索。
-
在执行深度优先搜索时，若某个顶点不能继续前进，即顶点的出度为0，则将此顶点入栈。
-
最后得到栈中顺序的逆序即为拓扑排序顺序。
1// 方法 2：邻接矩阵 + DFS 由于用的数组，每次都要遍历，效率比较低
2 public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
3 if (numCourses == 0) return new int[0];
4 // 建立邻接矩阵
5 int[][] graph = new int[numCourses][numCourses];
6 for (int[] p : prerequisites) {
7 graph[p[1]][p[0]] = 1;
8 }
9 // 记录访问状态的数组，访问过了标记 -1，正在访问标记 1，还未访问标记 0
10 int[] status = new int[numCourses];
11 Stack<Integer> stack = new Stack<>(); // 用栈保存访问序列
12 for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
13 if (!dfs(graph, status, i, stack)) return new int[0]; // 只要存在环就返回
14 }
15 int[] res = new int[numCourses];
16 for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
17 res[i] = stack.pop();
18 }
19 return res;
20 }
21
22 private boolean dfs(int[][] graph, int[] status, int i, Stack<Integer> stack) {
23 if (status[i] == 1) return false; // 当前节点在此次 dfs 中正在访问，说明存在环
24 if (status[i] == -1) return true;
25
26 status[i] = 1;
27 for (int j = 0; j < graph.length; j++) {
28 // dfs 访问当前课程的后续课程，看是否存在环
29 if (graph[i][j] == 1 && !dfs(graph, status, j, stack)) return false;
30 }
31 status[i] = -1; // 标记为已访问
32 stack.push(i);
33 return true;
34 }
总结
这篇博客从实战的角度出发，介绍了有向无环图的两种解法，入度表法和 DFS 法。其中，入度表法很重要，必须掌握。下一篇，我们将从 项目实战的角度来讲解，怎样搭建一个有向无环图的通用框架，敬请期待。
下期预告：深入探索ndroid 启动优化（三）- AnchorTask 开源啦！
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