PCA简述

作者: tangx_szu | 来源:发表于2018-12-19 17:15 被阅读0次

简介

PCA全称Principal Component Analysis，即主成分分析，是一种常用的数据降维方法。它可以通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，以此来提取数据的主要线性分量。

数学基础

向量的表示

内积

$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})^T\cdot (b_1,b_2,\cdots,b_n)^T = a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$

几何解释

$A\cdot B = \left | A \right |\left | B \right |cos(a)$

设向量B的模维1 ，则A与B的内积值等于A向B所在的直线投影的矢量长度

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向量表示为（3,2）

实际上表示线性组合

$x(1,0)^T + y(0,1)^T$ （1,0）就是X轴，（0,1）就是y轴

基变换

基是正交的（即内积为0 ，或者直观的说相互垂直）

要求：线性无关

线性无关.jpg

将（3,2）映射到新的基上 xy

变换：数据与一个基做内积运算，结果作为第一个新的坐标分量，然后与第二个基做内积运算，结果作为第二个新坐标的分量

将数据（3,2）映射到基中的坐标

3-2.jpg

基表换：

基变换.jpg

特征值，特征向量

若A为n阶方阵，如果存在一个非零向量X使得 $Ax = \lambda x$ 则标量 $\lambda$ 为特征值（eigenvuale) , x为特征向量（eigenvector)

线性变换

一个矩阵与一个列向量A相乘，得到一个新的列向量B，则称该矩阵未列向量A到列向量B的线性变化

我们希望投影后的尽可能分散，而这种分散程度，用方差来表述

$Var(a)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left ( a_{i} -u \right )^{2}$

寻找一个一维基，使得所有数据变化大这个基上的坐标表示后，方差值最大

解释：方差越大，说明数据越分散，通常认为，数据的某个特征维度上数据越分散，该特征就越重要

对于更高的维度，比如3维降到2维，在第1维得到最大的方差值后，我们希望第2维也是有最大方差，很明显，直接得到的第2维于第1维"几乎重合" ，所以它们应该有其他约束条件————正交

解释：从直观上说，让2个坐标尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在有（线性）相关性的，因为相关性说明2个字段不是完全独立的，必然存在重复表示的信息

数学上用2个向量的协方差来表示其相关性

$Cov(a,b) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left (a_{i} - \mu _{a} \right )\left ( b_{i} - \mu _{b}\right )$

当协方差为0时，表示2个向量线性不相关

所以优化的目标是：

将一组N维向量降为K维（0<K<N),其目标是选择K个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各向量间的协方差未0 ，而向量的方差尽可能大

协方差

协方差用于表示变量间的相互关系，变量间的相互关系一般有三种：正相关，负相关和不相关。

** 正相关：**假设有两个变量x和y，若x越大y越大；x越小y越小则x和y为正相关。

** 负相关：**假设有两个变量x和y，若x越大y越小；x越小y越大则x和y为负相关。

** 不相关：**假设有两个变量x和y，若x和y变化无关联则x和y为负相关。

假设有2个变量a和b 构成矩阵X（通常都是sample作为行向量，特征作为列向量）

$X = \begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\\ \vdots & \vdots\\ a_{m} & b_{m}\end{pmatrix}$

将其转置为sample作为列向量，特征作为行向量：

$X = \begin{pmatrix}a_{1} &a_{2} & \cdots &a_{m} \\ b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m}\end{pmatrix}$

用 $\frac{1}{m}XX^{T}$ 可以得到（不是推导得到的，而是恰好这个公式很好用）：

$\frac{1}{m}XX^{T} = \begin{pmatrix}\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i}^{2} & \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} b_{i}\\ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} b_{i} & \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} b_{i}^{2} \end{pmatrix}$

同理m个n维数据，将其转置称n*m个矩阵X ，设 $C = \frac{1}{m}XX^T$ ,则C是一个对称矩阵，其对角线为各个字段的方差，其中第i行j列和第j行i列元素相同

矩阵对角化

实对称矩阵：一个n*n的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量

$E = (e_{1} , e_{2} \cdots e_{n})$

实对称阵可进行对角化：

$E^{T}CE = \Lambda =\begin{pmatrix}\lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n}\end{pmatrix}$

根据特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用前K行组成的矩阵乘以原数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y

PCA简单实例

均一化后的数据： $\bigl(\begin{smallmatrix}-1 & -1 & 0 & 2 & 0\\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$

协方差矩阵：

$C = \frac{1}{5}\bigl(\begin{smallmatrix}-1 & -1 & 0 & 2 & 0\\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\begin{pmatrix}-1 & -2\\ -1&0 \\ 0 & 0\\ 2 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{6}{5} & \frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}& \frac{6}{5}\end{pmatrix}$