主要内容
- PCA简介
- 使用梯度上升法解决PCA问题
1.PCA简介
PCA（Principal Component Analysis : 主成分分析）：也是一个梯度分析的应用，不仅是机器学习的算法，也是统计学的经典算法
- 一个非监督的机器学习算法
- 主要用于数据的降维
- 通过降维，可以发现更便于人类理解的特征
- 其他应用：可视化，去噪。
1.1 PCA举例
例如下面一个两个特征的一个训练集，我们可以选择一个特征，扔掉一个特征：
下图分别是扔掉了特征一和特征二的两种方案，很明显右边这种的效果会更好一些，因为访问二扔掉特征二以后，点之间的分布情况更接近与原图，但是这不是更好的
我们希望有一根直线，是斜着的，我们希望将所有的点都映射到这条直线上，那么这个时候我们就成功的将二维降到了一维，与此同时，这些点更加趋近与原来的点的分布情况。
换句话说，点和点之间的距离比无论是映射到x还是映射到y周，他们之间的区分度都更加的大，也就更加容易区分。
1.2 分析
那么如何找到这个让样本间间距最大的轴? 如何定义样本间间距? 事实上有一个指标可以之间定义样本间的距离，就是方差（Variance）（方差：描述样本整体之间的疏密的一个指标，方差越大，代表样本之间越稀疏，方差越小，代表样本之间越紧密）。
方差公式：
为了简化方差计算，我们可以将样例的均值归为0 (demean)，使得均值为0，这样可以简化方差的公式：
对于右上角的(w1,w2),我们将其理解为一个二维向量，因为是在二维空间中，这个维度是由样本数据为维度决定的，当样本的维度为多维时，这个w也是多维向量，类似于线性回归中的theta向量，但是theta值是直线x的系数，w向量就只是一个向量。
向量知识可以参考本节后的数学知识--向量。
1.3 推导
我们想要求一个轴的方向w = (w1,w2),是的我们所有的样本映射到w后，有：
其中X(project)为样本映射到w向量后对应的特征值，也可以理解为一个向量：
进行方差归一化后：
X(i)映射到w的距离实际上就是X(i)与w的点乘（棕色的线），根据定义推导，其值实际上就是Xproject，其中w看作单位向量。
那么：
此时我们的目标函数就可以化简为：
其中X(i)为样本，w为我们要找的向量，这个向量要做到上式结果最大。
我们的样本X的特征维度时几维，我们要找的w就是几维。
1.4 与线性回归的区别
线性回归：
PCA降维
1.主成分分析法（PCA）的两个轴都是特征，线性回归y轴是目标结果值。
- 主成分分析法的点是垂直于方差轴直线的，目标是让这些点投影到这个线上后的间距尽可能的大。
- 而线性回归的点是垂直于x轴的，目标是让这些点特征值对应值与该线预测值之间结果尽可能的小。
2. 使用梯度上升法解决PCA问题
2.1 公式推导--梯度值
对于梯度值得计算，与J函数一样，对f函数对每一个w求偏导组成得向量：
注意上面式子里的每一个(X1(i)·w1+X2(i)·w2+......Xn(i)·wn)都是一个X(i)和w的点乘，所以式子可以进一步化解：
化简过后可以进行向量化，也就是去掉∑(m)，其每一项拆开开都是m个标量相加。每一项的前半部分都一样(向量)，后半部分组合起来的值为X矩阵的转置，那么这样的话就变成了X矩阵的转置与向量的点乘：(X (*) w )*X(T)。
其中：
- X：m行n列
- w：n行1列
这样计算出来的结果为n行1列。
2.2使用梯度上升法代码实现PCA
1.创建数据--画图
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
# 将X的第0列设置为0-100的随机小数
X[:,0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
# 第2列数据 = 0.75 * X[:,0] + 3 + noise
X[:,1] = 0.75 * X[:,0] + 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
plt.show()
2.demean(归0)
上述公式使用的前提有两个：
- 要对数据进行归0处理。
- w必须为单位向量。
那么这里我们一一处理：
1.归0
假设X为m行n列的矩阵：
np.mean(X, axis=0)：对X中数据求均值。
- axis = 0，对每一列求均值，返回一行n列向量。
- axis = 1，对每一行求均值，返回m行一列向量。
归0操作就是每一列数据减去该列的平均值组成的新的向量。
demean：
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0)
X_mean = demean(X)
re = np.mean(X_mean[:,0])
print(re) # 2.5437429940211587e-14
plt.scatter(X_mean[:,0],X_mean[:,1])
plt.show()
2.转化单位向量函数:
- np.linalg.norm(w)，w向量的模
# 单位向量w
def dirextion(w):
return w/np.linalg.norm(w)
3.梯度上升法
1.f函数
f函数，也就是效用函数。
f():
def f(X,w,):
return np.sum(X.dot(w)**2) / len(X)
2.df函数
df函数分为df_math()和df_debug():
- df_math()按照公式计算：
- df_debug()与之前的梯度下降法调试中的一样：
def df_math(X,w):
gradient = (X.T.dot(X.dot(w))) * 2 / len(X)
return gradient
def df_debug(X,w,epsilon=0.0001):
gradient = np.empty(len(w))
for i in range(len(w)):
w_1 = w.copy()
w_1[i] += epsilon
w_2 = w.copy()
w_2[1] -=epsilon
gradient[i] = (f(X,w_1) - f(X,w_2)) /(2 *epsilon)
return gradient
3.梯度上升函数
该函数的逻辑与梯度下降相似，只是在每次循环中，都要调用单位向量函数将w转为单位向量进行计算。
def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon=1e-8):
w = dirextion(initial_w)
i_iter = 0
while i_iter < n_iters:
gradient = df(X,w)
last = w
w = w + eta * gradient
w = dirextion(w)
if abs(f(X,w) - f(X,last)) < epsilon:
break
i_iter +=1
return w
4. 测试：
# 设置参数
init_w = np.random.random(X.shape[1])
eta = 0.001
# df_debug
re = gradient_ascent(df_debug,X_mean,init_w,eta)
print(re) # [0.74936349 0.66215886]
# df_math
re = gradient_ascent(df_math,X_mean,init_w,eta)
print(re) # [0.78531688 0.61909401]
5.画图
将所有样本点描在图中，并将w向量放大100倍画在图中：
plt.scatter(X_mean[:,0],X_mean[:,1])
plt.plot([0,re[0]*100],[0,re[1]*100],color='r')
plt.show()
6.使用极端数据集测试
1.生成数据集：
数据集的第二列不加噪音，也就是这些样本点全部在一条直线上。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X2 = np.empty((100, 2))
X2[:,0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X2[:,1] = 0.75 * X2[:,0] + 3.
plt.scatter(X2[:,0], X2[:,1])
plt.show()
2.数据处理,测试数据，画图：
from PCA.pca_01 import demean,df_math,gradient_ascent
# 数据集归0
X2_mean = demean(X2)
# 设置参数
init_w = np.random.random(X2.shape[1])
eta = 0.001
# 梯度上升
re = gradient_ascent(df_math,X2_mean,init_w,eta)
print(re)
# 画图对比
plt.scatter(X2_mean[:,0],X2_mean[:,1])
plt.plot([0,re[0]*10],[0,re[1]*10],color='r')
plt.show()
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附录：数学知识--向量
1.向量概述
- 向量有方向和长度或者叫大小。
- 向量可以看成是一个有方向的线段，用（w1，w2）表示 。
- 一个点怎么能表示一个线段呢? 还有一个隐含点 就是坐标原点，如果一个向量的起点不在坐标原点 我们可以将它平移到坐标原点。
- 向量的模：就是指向量的长度 也即
(w1^2 + w2^2)方开根号 也即原点出发的线段的长度. - 单位向量:向量的模为1的向量,其数量有无数个。
- 向量转化为单位向量：该向量/该向量的模。
2.向量的意义
1.定义
概括的说，向量的内积(点乘)对于两个向量执行点乘就是对应位置一一相乘求和的操作。计算出来为一个标量值。
这里要求a和b的行列数相同。
2.向量内积的几何意义
两向量相乘可以表示为如下形式：
其中，theta为向量a和向量b 之间的夹角。
上式右边的意思为:一个向量在另一个向量方向上的射影乘以另一个向量的长度。
即：两向量的点积为向量a在向量b方向上 “贡献” 长度的多少；
画图：
推导过程：
首先我们了解一下a+b和a-b:
a+b:
a-b:
假设a+b/a-b 结果为c向量，用(c1,c2)表示，a向量(a1,a2),b向量(b1,b2),那么c向量中的c1 = a1+b1/a1-b1,c2 = a2+b2/a2-b2。
定义：
根据三角形余弦定理有：
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
即：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
- a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
- a·b=0 正交，相互垂直
- a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
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