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由陌生到认识——微积分

由陌生到认识——微积分

作者: 读书郞 | 来源:发表于2021-12-29 23:53 被阅读0次

    你好,微积分,希望可以认识你...

    呃!同学,你好,你想认识我,得先认识导数和积分,我其实是导数和积分的合体。

    嗯!好吧!那我先了解一下什么是导数吧!

    导数是什么?什么是导数?

    导数是用来分析变化的一种工具。

    那么,什么是变化率呢?首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变,有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头(是激烈还是缓慢),比如自行车爬坡的速度,从坡谷到坡顶的过程中,速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化,速度变化最激烈是那一个点呢? 坡度也会变化,最陡最峭的是那一段呢? 这些,用导数就可以数值化表示。

    导数有什么用?

    现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势,及早规防、准备将进行的事,例如天气预报、股票分析、图像处理,又或者预测某人有无喝醉了酒,等等。

    怎样计算导数呢?

    求导数即是求变化率,比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率,假如这个坡没有高低起伏,像一条斜线,则它的斜率是恒定的,计算也很简单,从中(a)取一段距离(x),用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法,写成公式: 斜率 = (f(a+x) - f(a)) / x

    大家好,下面有位新人叫“极限”

    求导,里面有一个称为“极限”的东西,什么是“极限”呢? 比如做俯卧撑,一直做下去,总有一个数是你不能达到,但又可以无限接近的,这个数就是你做俯卧撑的极限,当你无限接近这个极限时你会出现什么情况,这个情况就是“导数”,千万不要把手都撑断了。

    导数公式

    y=f(a) 的斜率可以这样表示: \lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}}

    这个公式叫做函数f(a)的导函数,意思是: 当x无限接近0时,变化的结果是什么。

    导函数可以用f'(a)表示,读做“f撇a”。

    完整的导函数式: f'(a) = \lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}} 这个公式称为基本求导公式

    导数还有另外一种表示方法,对函数f(x)关于x的求导,可以表示为: \frac{dy}{dx}

    也可以表示为: \frac{df(x)}{dx}

    以可以表示为: \frac{d}{dx}f(x)

    这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母,上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数,与f撇的写法区别是,它明确表示出关于什么求导。

    导数简单计算公式

    1. p' = 0 p为常数时,没有变化,所以p的导数是0。
    2. (px)' = p p为常数,关于x求导,实际是求直线的斜率,直线的倾斜p,斜率就是p,所导数为p。
    3. {f(x) + g(x)}' = f'(x) + g'(x) 对两个函数的和——f(x)+g(x)求导会得到f'(x)+g'(y),这个是重要公式。
    4. (x^n)' = nx^{(n-1)} 这是使用很频繁的公式,可以通过基本求导公式推导出来。
    5. \{f(x)g(x)\}' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)' 这是函数积求导的公式

    导数的结尾

    到此,大概也认识了导数,通过多点练习去加深印象吧,下面我们说说积分。

    Hello,大家好,轮到我积分出场了,我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵!

    什么是积分?

    积分是导数的逆运算,二者就像硬币正反面,也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。

    哈哈! 积分最早就是用来求圆形的面积的。

    积分的表示方法

    用符号\int 表示积分,这个符号和 f 有点相似, 笔画比 f 少了一小点,大家还记得导数的符号吗?
    导数的符号f', 它比f多了一点,导数积分的中分正是原函数。

    看看下面两个式子:
    1. 读法:求函数f(x)关于x的积分,表示法: \int{f(x)}dx

    2. 读法:求函数f(x)关于y的积分, 表示法: \int{f(x)}dy

    通过式子可以知道,求关于什么的积分,这个“什么”就要写d后面,例如上面求关于x时写成dx

    积分计算

    积分是导数的逆运算,逆运算是倒过来算的意思,如果要计算 \int{f(x)}dx, 只需要考虑“关于x求导得到f(x)的函数是什么",就可以算出积分。

    来点例子?

    \int{x^2}dx : 关于x求导得到x^2 的函数是什么呢?用前面认识的求导公式计算
    x^3求导得多少? 是3x^2, 想办法把3去掉,就可以得到x^2
    (\frac{1}{3}x^3)'求导,就可以得到(\frac {1}{3} \times x^3)' = \frac{1}{3} \times 3x^2 = x^2
    所以上面关于 x^2 求 x 的积分的解是: \frac{1}{3}x^3

    但是
    求导后得到x^2的函数可不止 \frac{1}{3}x^3,例如 \frac{1}{3}x^3 + 3\frac{1}{3}x^3 + 4 等等的原函数,经过求导后得到的也是 x^2 , 因为对常数项求导等于0, 上面公式:p' = 0

    所以,如果只说求积分,我们可以得到很多答案,为此,人们想出了一种汇集所有答案的表示方法:

    \int{x^2}dx = \frac{1}{3}x^3 + C (C 称为积分常数,是英文单词:Constant(常数) 的首字母)

     重点:含有积分常数的积分叫做不定积分。 因为常数有无限多个,所以用“不定”来表达。

    对比一下:

    • 对f(x)求导得到的函数叫做导函数——导数。

    • 对f(x)的求不定积分得到的函数叫原函数——积分。

    • 导数表示变化,积分是变化的集合。

    从不定积分到定积分

    很少会有求不定积分的题目,都说了“不定”,无法求出具体答案的,求积分时,通常要增设一些条件,通过条件巧妙地把积分常数C消掉,固定了条件的积分称为“定积分”。

    • 不定积分: \int f(x)dx
    • 定积分: \int^{b}_{a}f(x)dx 定积分的字母a、b,表示从a到b的范围。

    定积分和不定积分看起来相似,其实存在很大的差异。首先不定积分是之前介绍的“求导得到f(x)的函数”。假设原函数写成F(x), 则F(x)是“ ...... + C(C为积分常数)” 这样的形式。

    而定积分呢? 它比不定积分多了一项运算,该运算写成:

    • F(x)|^{b}_{a} 表示 F(b) - F(a)

    假如有一个表示当天股价的函数 k(x), “ k(x)|^{今天}_{昨天} " 意思是 [k(今天)-k(昨天)]
    例如: 3x|^{7}_{2} 表示 [3 \times 7 - 3 \times 2]

    定积分的结果不是函数,是常数。

    假设 f(x) 的不定积分为 F(x), 结合上面示例,定积分的表示为:

    • \int^{b}_{a}f(x)dx = F(x)|^{b}_{a}

    例如: F(x) = 3x + 771, 将a、b代入上式进行减法运算

    F(x)|^{b}_{a} = (3b+771) - (3a+771) = 3b - 3a

    由此可见,1.不定积分的积分会消掉, 2.定积分的结果不是函数,而是常数。

    结尾

    好吧,导分和积分大概就是这样子的了,想继续深入就要背公式和做练习啦!

    来到最后,我们的主角“微积分”要登场了,它是导数和积分的合体,下面看看它的真面目是怎样的

    f(x) = \frac {d}{dx} \int^ {x}_{0}f(t)dt

    这个算式称为“ 微积分基本定理”。

    公式供我们先认识一下,原理则留待下次再解释。因为我还没有弄懂!

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