行列式（二）- 行列式的性质

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-12 23:15 被阅读0次

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行变换

定理 3（行变换）
令 $\boldsymbol{A}$ 是一个方阵。
$a.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $det \;\boldsymbol{B}=det \;\boldsymbol{A}$
$b.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 的两行互换得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $det \;\boldsymbol{B}=-det \;\boldsymbol{A}$
$c.\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 的某行乘以 $k$ 倍得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $det \;\boldsymbol{B}=k \times det \;\boldsymbol{A}$

计算 $det \;\boldsymbol{A}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & -4 & 2 \\ -2 & 8 & -9 \\ -1 & 7 & 0 \end{bmatrix}$
解：
$det \;\boldsymbol{A}=\begin{vmatrix}1 & -4 & 2 \\ -2 & 8 & -9 \\ -1 & 7 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \\ -1 & 7 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
交换第2行与第3行时行列式取反号，即
$det \;\boldsymbol{A}=-\begin{vmatrix}1 & -4 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \end{vmatrix}=-(1)(3)(-5)=15$

计算 $det \;\boldsymbol{A}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & -8 & 6 & 8 \\ 3 & -9 & 5 & 10 \\ -3 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & -4 & 0 & 6 \end{bmatrix}$
解：第一行提出共因子2，再进行行化简。
$\begin{aligned} det \;\boldsymbol{A}&=2\begin{vmatrix}1 & -4 & 3 & 4 \\ 3 & -9 & 5 & 10 \\ -3 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & -4 & 0 & 6 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1 & -4 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & -4 & -2 \\ 0 & -12 & 10 & 10 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 2\begin{vmatrix}1 & -4 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \end{vmatrix}= 2\begin{vmatrix}1 & -4 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 2(1)(3)(-6)(1)=-36\end{aligned}$

若一个方阵 $\boldsymbol{A}$ 通过行倍加和行交换化简为阶梯形 $\boldsymbol{U}$ ，且次过程经过了 $r$ 次行交换，则定理 3表明 $det \;\boldsymbol{A}=(-1)^{r}det \;\boldsymbol{U}$ 。由于 $\boldsymbol{U}$ 是阶梯形，故它是三角阵，因此 $det \;\boldsymbol{U}$ 是主对角线上的元素 $u_1\!_1,\cdots,u_n\!_n$ 的乘积。若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则元素 $u_i\!_i$ 都是主元；否则，至少有 $u_n\!_n$ 等于零，乘积 $u_1\!_1,\cdots,u_n\!_n$ 为零。从而有以下公式：
$det \;\boldsymbol{A}=\begin{cases} (-1)^{r} \times (\boldsymbol{U}的主元乘积) & 当\boldsymbol{A}可逆 \\ 0 & 当\boldsymbol{A}不可逆\end{cases}$
注意：尽管上述中的阶梯形 $\boldsymbol{U}$ 是不唯一的，主元也不是唯一的，但除了差一个符号外，这些主元的乘积是唯一的。
定理 4 $\;$ 方阵 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的当且仅当 $det \;\boldsymbol{A} \neq 0$ 。

行列式与矩阵乘积

定理 6（乘法的性质）
若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 $det \;\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=(det \;\boldsymbol{A})(det \;\boldsymbol{B})$ 。
对 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}6 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ ，验证定理 6。
解：
$\boldsymbol{AB}=\begin{bmatrix}6 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25 & 20 \\ 14 & 13\end{bmatrix}$
$det \;\boldsymbol{AB} = 25 * 13 - 20 * 14 = 45$
$(det \;\boldsymbol{A})(det \;\boldsymbol{B})=(6 * 2 - 3 * 1) * (4 * 2 - 1 * 3)=9 * 5=det \;\boldsymbol{AB}$