简单收益率
假设上周末，你和两个朋友坐在咖啡馆里聊天。朋友 Rick 说，他买的股票昨天涨了整整 1 美元。另一个朋友 Morty 说，这算什么，他的股票昨天涨了 10 美元。你认为哪一个投资更好？ 这个问题无法回答，原因在于，你不知道两只股票的价格水平。 假设 Rick 持有的是 Global Eagle Entertainment（ENT）公司的股票，这只股票的价格在 5 美元左右，而 Morty 持有的是 Google（GOOGL） 公司股票，价格在 900 美元左右。买一股 GOOGL 的金额，可以用来买 180 股 ENT。Rick 和 Morty 都用 900 美元进行股票投资，Rick 昨天收益了 180 美元，而 Morty 只收益了 10 美元，很显然 Rick 的投资更好。 从这个简单的例子中，我们知道了价格（绝对指标）的不可靠。我们需要一个相对指标来比较不同的投资机会，那就是收益率。 假设P t表示t时刻的资产价格，如果该资产不分红，则单期的简单收益率为

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收益率相对于价格的优越性，除了上述例子体现的可比性之外，还有优良的统计性质（例如平稳性）
对数收益率
假设P t表示t时刻的资产价格，如果该资产不分红，则单期的对数收益率为
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对数收益率也具有可比性和平稳性。相较于简单收益率，对数收益率最大的优点是它在时间上具有可加性。 k 期的对数收益率为
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对数收益率和简单收益率之间存在如下关系
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简单收益率它反映的价格的增长率，而对数收益率是连续复利的收益率
金融数据来源

• FRED
• Yahoo Finance
• Bloomberg
• CEIC
• RESSET
• CSMAR
• WIND
  常用金融类R工具包
  quantmod 工具包为金融中建立定量模型、数据获取、作图等一系列用途提供了许多函数。
  fBasics 工具包中有许多可以用来探索金融收益率序列基本性质的函数，包括分布性质、参数估计和假设检验。
  tseries 工具包主要用于时间序列分析，它提供了一些统计检验函数。

收益率序列特征

平稳性
平稳的随机过程分为严平稳过程（strictly stationary process）和弱平稳过程（weakly stationary process）。严平稳是指随机变量的联合分布不随时间发生改变，这在现实生活中很难实现。弱平稳是指随机变量的一阶矩（期望）不随时间改变，且相同时间间隔的随机变量之间的协方差保持不变（时间间隔取 0 可以推出方差不变）。 时间序列可以看作随机过程的一次实现，因此也分为平稳序列和非平稳序列。通常假设收益率序列是弱平稳序列。
下图是 2012 年 9 月 27 日至 2017 年 9 月 27 日 Google 公司股票价格的时间序列图。从图中可以看出，价格序列是非平稳的，呈现出明显的上升趋势。

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下图是 Google 公司股票的简单收益率和对数收益率时间序列图。从图中可以看出，两个序列都围绕一个水平值进行上下波动，没有上升或下降的趋势，因而是平稳序列，相对于非平稳的价格，我们更偏好平稳的收益率。 我们还发现，两个图形的形状几乎完全相同，这是因为我们选取的日度数据，时间间隔很小，收益率非常接近 0，简单收益率和对数收益率近似相等。
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尖峰、厚尾、左偏
尖峰、厚尾、左偏这三个特征都是相对于正态分布来说的，所以把它们放在一起。 下图是均值和方差相同的两个分布的概率密度图形。其中，灰色部分是对数收益率的概率直方图，而棕色虚线是正态分布的概率密度曲线。可以看出，相对于正态分布，对数收益率呈现明显的尖峰厚尾特征，这意味着出现极端值的可能性更大。 左偏是指分布的尾巴向左拖曳，意味着出现负极端值的概率进一步增大，因此对金融资产进行风险管理就至关重要了。从下图中并不能看到明显的左偏趋势。
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下图为对数收益率和正态分布随机变量的 Quantile-Quantile Plot，我们来看看它的形成过程。 假设收益率序列为{rt}，r1是对数收益率分布的y1阶分位数。我们在正态分布中找到r1，发现它是正态分布的x1阶分位数。
(x1,y1)就形成了图中的一个棕色小圈。如果收益率序列服从正态分布，那么棕色小圈应该完全落在图中那条直线上，棕色小圈与直线偏离越大，收益率越不服从正态分布。 我们看 Q-Q plot 两端的棕色小圈，发现它们偏离直线较远，这说明收益率可能具有尖峰、厚尾、左偏的特征。
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波动聚集
下图是对数收益率的时间序列图，可以看出，大的价格变动往往结群出现。也就是说，大的价格变动跟着大的价格变动，小的价格变动跟着小的价格变动，这就是波动聚集。波动率是衡量金融风险最常用的指标，波动聚集描述的是波动率在时间上的相关性。
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长记忆性
长记忆性是指序列的自相关性随时间衰减很缓慢（比指数衰减缓慢）。从下面的自相关图可以看出，对数收益率在很长的时间范围内都呈现出小而显著的自相关性，因而具有长记忆性。
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获取数据和预处理

> library(quantmod)
> library(fBasics)
> library(tseries)
> 
> dat <- getSymbols('GOOGL', from = '2012-09-27', to = '2017-09-27')
> dim(GOOGL)
[1] 1257    6
> head(GOOGL)
           GOOGL.Open GOOGL.High GOOGL.Low GOOGL.Close GOOGL.Volume GOOGL.Adjusted
2012-09-27   380.3553   381.8018  376.2012    378.6286      7854300       378.6286
2012-09-28   377.4525   380.0300  375.9510    377.6276      5561400       377.6276
2012-10-01   379.9049   382.8829  378.4835    381.2713      6329600       381.2713
2012-10-02   382.9830   383.3784  375.5105    378.8739      5574800       378.8739
2012-10-03   378.2383   382.3423  376.4765    381.6316      4412100       381.6316
2012-10-04   381.7567   385.3303  380.0801    384.4094      4903400       384.4094

可以看到，我们的数据包含 1257 个观测值（样本），6 个变量分别是开盘价、最高价、最低价、收盘价、交易量和调整后的收盘价。

> GOOGL.simrtn <- diff(GOOGL[,6])/c(1, GOOGL[1:1256,6])
> GOOGL.logrtn <- diff(log(GOOGL[,6]))
> head(GOOGL.simrtn)
           GOOGL.Adjusted
2012-09-27             NA
2012-09-28   -0.002643770
2012-10-01    0.009648780
2012-10-02   -0.006287911
2012-10-03    0.007278810
2012-10-04    0.007278752
> head(GOOGL.logrtn)
           GOOGL.Adjusted
2012-09-27             NA
2012-09-28   -0.002647271
2012-10-01    0.009602528
2012-10-02   -0.006307764
2012-10-03    0.007252448
2012-10-04    0.007252390

由于是日度数据，简单收益率和对数收益率非常接近。并且由于差分的缘故，两个序列的第一个值都变成了 NA。
时间序列图

> chartSeries(GOOGL, theme="white")

image.png

> chartSeries(GOOGL, theme="white", TA=NULL)

image.png

> tdx <- c(1:length(GOOGL[,6]))/250 + 2012.75
> plot(tdx, GOOGL[,6], type='l', xlab='year', ylab='daily price', main='GOOGL [2012/09/27-2017/09/27')
> grid()
> abline(v=2016.75, lwd=2, lty=1, col='grey')
> abline(h=720, lwd=3, lty=3, col='grey30')

image.png

接下来我们如法炮制收益率的时间序列图

> chartSeries(GOOGL.simrtn, theme='white')

image.png

> chartSeries(GOOGL.logrtn, theme='white')

image.png

> simrtn <- as.numeric(GOOGL.simrtn[2:1257])
> logrtn <- as.numeric(GOOGL.logrtn[2:1257])
> tdx2 <- c(1:length(logrtn))/250 + 2012.75
> par(mfrow=c(2, 1))
> plot(tdx2, simrtn, type='l', xlab='year', ylab='simple return')
> plot(tdx2, logrtn, type='l', xlab='year', ylab='log return')

image.png
概率分布图
接下来画对数收益率的概率分布图，将它与正态分布图对比。

> hist(logrtn, breaks=60, col='grey', xlab='', main='log return', prob=T)
> x <- seq(min(logrtn), max(logrtn), 0.001)
> y <- dnorm(x, mean=mean(logrtn), sd=sd(logrtn))
> lines(x, y, col='brown', lwd=2, lty=2)

image.png

Q-Q plot 和 ACF plot

> qqnorm(logrtn, col='brown', ylab='quantile of log returns', xlab='normal quantile')
> qqline(logrtn)

> acf(logrtn, lag=40, main='log returns')

image.png
概率统计值

> basicStats(logrtn)
                 logrtn
nobs        1256.000000
NAs            0.000000
Minimum       -0.083455
Maximum        0.150645
1. Quartile   -0.005930
3. Quartile    0.007616
Mean           0.000722
Median         0.000460
Sum            0.906586
SE Mean        0.000391
LCL Mean      -0.000046
UCL Mean       0.001489
Variance       0.000192
Stdev          0.013863
Skewness       1.460489
Kurtosis      18.532233

对数收益率序列共 1256 个观测值，0 个 NA 值，最小值、最大值、1/3 分位数、2/3 分位数、均值、中位数等统计量也一应俱全。特别注意峰度 Kurtosis 为 18.532233，大于 3，说明它相对于正态分布具有尖峰厚尾特征。偏度 Skewness 为 1.460489，大于 0，说明是右偏分布，这与金融收益率经常呈现左偏分布的经验相悖。

> normalTest(logrtn, method='jb')

Title:
 Jarque - Bera Normalality Test

Test Results:
  STATISTIC:
    X-squared: 18487.7818
  P VALUE:
    Asymptotic p Value: < 2.2e-16 

Description:
 Thu Nov 19 07:32:44 2020 by user: Administrator

检验统计量非常大，p 值非常小，应当拒绝原假设。对数收益率不服从正态分布。

> adf.test(logrtn)

    Augmented Dickey-Fuller Test

data:  logrtn
Dickey-Fuller = -11.508, Lag order = 10, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary

Warning message:
In adf.test(logrtn) : p-value smaller than printed p-value

值小于 0.01，则可以在 1% 的显著性水平下拒绝原假设，接受备择假设，对数收益率序列是平稳序列。