三年级我们再次遇到乘法，儿童对乘法的本质含义已经有了一定的了解，他们能够处理两位数乘一位数的问题。在儿童面对两位数乘两位数的问题时，这不仅仅是计算能力的提升，而是乘法观念本身的再次跃迁，经过这个单元的学习孩子的乘法观念会变得更加灵活。
那么如何才能让儿童的乘法观念本身变得更加灵活呢？除了乘数竖式的学习之外我们还需要关注什么？
一、乘法的本质含义到底是什么？
你可能会诧异，二年级就已经学习了乘法运算的儿童，在三年级还不会解释乘法的本质含义吗？是的，尤其是系统外的孩子，在用倍数观念解释乘法的本质含义时观念是模糊不清的，即使是跟着我们的课程一路走上来的孩子在面对更大数字的乘法运算时原有的乘法观念也会暂时陷入惰性之中。帮助儿童唤醒或者重新建构乘法观念本身最好的模型就是矩阵图。对于乘法算式12×14对应着这样一幅矩阵图——
如果我们横着看：一行有14颗棋子，有这样的12行，用倍数语言描述就是14的12倍。如果竖着看：一列由12颗棋子，有这样的14列，用倍数语言描述就是12的14倍。所以任何一个乘法算式都对应着两种含义。
用乘法的这两种含义我们可以玩出哪些好玩的游戏呢？
先来横着看：一行有14颗棋子，有这样的12行，用倍数语言描述就是14的12倍。14的12倍到底是多少呢？此时孩子们并没有学过，但可以用拆分的方法将14的12倍看成14的6倍和14的6倍——
用符号语言表示就是——
这样我们就顺利将两位数乘两位数的问题转化成了两位数乘一位数的问题。一个问题讨论完之后，孩子们的思维立马就像泄洪的江河：14的10倍＋14的2倍；14的5倍+14的7倍；14的8倍+14的4倍……对于每一种拆分方法，我们都可以用图形语言和符号语言进行解释。
能不能竖着看呢？当然可以。竖着看：一列由12颗棋子，有这样的14列，用倍数语言描述就是12的14倍。12的14倍也没有学过啊！来看看这位同学是怎么想的？
他是想将12的14倍变成12的7倍＋12的7倍，用图形语言表示为——
竖着看，还可以怎么拆分？12的4倍+12的10倍；12的6倍+12的8倍；12的9倍+12的5倍；12的6倍+12的8倍……对于每一种拆分方法，我们都可以用图形语言和符号语言进行解释。
这样的游戏玩完之后，孩子们对于乘法的本质含义已经有了深刻的体会，同时两位数乘两位数的问题也变得不那么“遥不可及”。在分步乘的基础上，孩子们还试图用连乘算式来更加简洁地表示自己的拆分过程。
但这么多的拆分方法，哪种拆分方法最简单呢？孩子们立马发现不管是横着看，还是竖着看按照位值制拆分是最简单的，因为这样可以将两位数乘两位数的问题变成以一个整十数乘两位数和一位数乘两位数的计算，大大降低了计算成本。如何将这样简便的计算过程记录下来，变成简洁操作性较强的竖式呢？
这样的过程不那么让人满意，因为完全没有计算过程呀！
这样的竖式清楚记录了计算过程，但过于复杂，能变得更简单一点就好了。
最终我们在讨论的过程中对竖式的书写达成了这样的共识——
整个操作及发明创造的历程已经可以帮助儿童清楚解释竖式计算中每个数字的含义。就这样我们发明了竖式！对于小贝壳而言竖式仅仅是按照位值制拆分这种方法的简单记录而已，对于两位数乘两位数解决办法，绝对不止一种。之所以会有这么多中计算方法，一定离不开孩子们对乘法本质含义的深刻理解。这样理解还体现在一颗一颗茁壮成长的数字树中。
二、估算有用吗？
期末考试，考卷上必然会出与估算有关的题目，所以这就是我们学习估算的理由吗？当然不是！估算是一种思维方式，是一种比精确计算更重要的思维方式。今天已经没有几个成人会真正列竖式去计算了，手机、电脑、人工智能早已替代了以前的“计算先生”，如果我们还在还紧紧盯着孩子的计算能力，是要让孩子们去和已经非常发达的人工智能竞争吗？对数字的感觉却是我们人类特有的，而估算能力的高低就可以体现出儿童数感的发展水平。所以在这个单元的课程执行中，开始每道题之前都会带着孩子们先对这道题进行估算，孩子们会给出很多不同的答案。
在整个讨论的过程中乘法的本质含义会再次变成我们分析估算值是否准确的思维工具。估算思维成为我们快速判断计算结果是否正确的思维工具，成为我们分析计算结果是几位数的思维工具，成为我们分析实际问题的思维工具……在讨论估算的过程中，儿童的数感变得越来越好，计算准确率也变得越来越高。最重要的是他们会深刻认识到估算并没有准确答案，但却能给问题一个准确的答复，这是多么奇妙的一件事情。
三、模型思想的建构
相同的一个乘法算式，你可以编出怎样的数学故事呢？
这些数字摇身一变，就是一个与价格模型有关的数学故事——
分析数量关系：已知单价是“25元“，数量是“12个”，要求的是总价。同样的问题背景，我们能对这道题进行知二求一改编吗？
这次我们可以已知总价和单价，求数量：一共有300元，一个蛋糕25元，可以买几个这样的蛋糕？
还可以改编成已知总价和数量，求单价：一共有300元，买了这样的12个蛋糕，每个蛋糕多少元？
而总价、单价、数量无非就是乘法关系中的总数，份数和每份的个数呀！
还有人编了这样的数学故事——
还有塑料袋——
还可以是做汉堡——
故事不同，却都可以用乘法算式“25×12”解决，而且这些故事都是与工程模型有关，数字“12”摇身一变成了工作时间，“25”变成了工作效率，最终要求的就是工作总量。更神奇的是工程模型也可以用同一幅线段图表示：工作效率，工作时间，工作总量分别对应着乘法关系式中的每份的个数，份数和总数。
除了工程模型，价格模型，孩子们还可以编制与路程模型有关的数学故事。不管是哪种模型，我们都可以对其进行知二求一改编，最重要的是这三个模型其实就是一种模型——乘除运算。
我们还可以将简单的问题变得更加好玩——让“总数”隐藏其起来。
让数量“隐藏”起来——
对题目进行改编的背后逻辑就是模型思维的建构。
经过这样的课程穿越之后，我们可以更加明确的一点是，机械的乘法竖式练习只会让儿童的乘法观念变得越来越僵化！乘法本质含义的理解，估算思想的培养，开放的问题情景，丰富的创作空间，殊途同归的模型思想……才会让孩子的乘法观念得到真正发展，才会让儿童真正体会到数学学习的乐趣。
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