前言

最近开始刷题，真实地解决了大学时期“这黑窗口敲来敲去做数学题有卵用？”的困惑。有些东西之前学过，现在忘了，但是正是因为学过，所以再学一遍就变得效率很高（但是我还是不认可大学的学科教学顺序）。废话不多说，这篇博客只是一个笔记，希望之后有了更深的认识能够完善。

前缀、中缀以及后缀表达式是什么？

先聚合一下定义，以后万一要复习也好找XD

前缀表达式

波兰表示法（Polish notation，或波兰记法），是一种逻辑、算术和代数表示方法，其特点是操作符置于操作数的前面，因此也称做前缀表示法。

中缀表达式

中缀表示法（或中缀记法）是一个通用的算术或逻辑公式表示方法， 操作符是以中缀形式处于操作数的中间（例：3 + 4）。与前缀表达式（例：+ 3 4）或后缀表达式（例：3 4 +）相比，中缀表达式不容易被电脑解析，但仍被许多程序语言使用，因为它符合人们的普遍用法。

与前缀或后缀记法不同的是，中缀记法中括号是必需的。计算过程中必须用括号将操作符和对应的操作数括起来，用于指示运算的次序。

后缀表达式

逆波兰表示法（Reverse Polish notation，RPN，或逆波兰记法），是一种是由波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年引入的数学表达式方式，在逆波兰记法中，所有操作符置于操作数的后面，因此也被称为后缀表示法。逆波兰记法不需要括号来标识操作符的优先级。

对中缀表达式进行转换

这应该是基础中的基础了，理解并记忆思路，再跟着栗子走两步，最后敲一遍代码，基本就掌握了。

中缀表达式转前缀表达式

思路

1. 初始化两个栈：运算符栈 S1; 操作数栈 S2
2. 从右至左扫描中缀表达式
3. 遇到操作数时，将其压入 S2
4. 遇到运算符时，比较其与 S1 栈顶运算符的优先级
   1. 如果<span style="font-weight:bold"> S1 为空</span>，或栈顶运算符为右括号 ")"，或其优先级比栈顶运算符的优先级较高或相等，则直接将此运算符入栈
   2. 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
5. 遇到括号时
   1. 如果是右括号 ")"，则直接压入 S1
   2. 如果是左括号 "("，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到右括号 ")" 为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤 2 至 5，直到表达式的最左边
7. 将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
8. 依次弹出 S2 中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5

扫描到的元素	S2 (栈底 -> 栈顶)	S1 (栈底 -> 栈顶)	说明
5	5	空	操作数，直接入栈 S2
-	5	-	运算符，S1 为空，直接入栈
)	5	- )	右括号，直接入栈 S1
6	5 6	- )	操作数，直接入栈 S2
/	5 6	- ) /	运算符，且 S1 栈顶为 右括号，直接入栈
)	5 6	- ) / )	右括号，直接入栈 S1
4	5 6 4	- ) / )	操作数，直接入栈 S2
*	5 6 4	- ) / ) *	运算符，且 S1 栈顶为 右括号，直接入栈
3	5 6 4 3	- ) / ) *	操作数，直接入栈 S2
(	5 6 4 3 *	- ) /	左括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号，一对括号丢弃
+	5 6 4 3 * /	- ) +	运算符，但优先级低于 S1 栈顶运算符，S1 弹出运算符压入 S2，直至栈顶优先级低于运算符，再入栈
1	5 6 4 3 * / 1	- ) +	操作数，直接入栈 S2
(	5 6 4 3 * / 1 +	-	左括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号，一对括号丢弃
到达最左端	5 6 4 3 * / 1 + -	空	将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

依次弹出 S2 中的元素并输出结果： -+1/*3465

代码

carbon_1577593826257.png

中缀表达式转后缀表达式

思路

1. 初始化两个栈：运算符栈 S1; 操作数栈 S2
2. 从左至右扫描中缀表达式
3. 遇到操作数时，将其压入 S2
4. 遇到运算符时，比较其与 S1 栈顶运算符的优先级
   1. 如果<span style="font-weight:bold"> S1 为空</span>，或栈顶运算符为左括号 "("，或其优先级比栈顶运算符的优先级较高，则直接将此运算符入栈
   2. 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
5. 遇到括号时
   1. 如果是左括号 "("，则直接压入 S1
   2. 如果是右括号 ")"，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到左括号 "(" 为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤 2 至 5，直到表达式的最右边
7. 将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
8. 拼接 S2 中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的后缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5

扫描到的元素	S2 (栈底 -> 栈顶)	S1 (栈底 -> 栈顶)	说明
(	空	(	左括号，直接入栈 S1
1	1	(	操作数，直接入栈 S2
+	1	( +	运算符，且 S1 栈顶为 左括号，直接入栈
(	1	( + (	左括号，直接入栈 S1
3	1 3	( + (	操作数，直接入栈 S2
*	1 3	( + ( *	运算符，且 S1 栈顶为 左括号，直接入栈
4	1 3 4	( + ( *	操作数，直接入栈 S2
)	1 3 4 *	( +	右括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号，一对括号丢弃
/	1 3 4 *	( + /	运算符，且优先级高于 S1 栈顶的运算符，直接入栈
6	1 3 4 * 6	( + /	操作数，直接入栈 S2
)	1 3 4 * 6 / +	空	右括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号，一对括号丢弃
-	1 3 4 * 6 / +	-	运算符，S1 为空，直接入栈
5	1 3 4 * 6 / + 5	-	操作数，直接入栈 S2
到达最右端	1 3 4 * 6 / + 5 -	空	将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

拼接 S2 中的元素并输出结果：134*6/+5-

代码

carbon.png

考题扩展

leetcode 150. 逆波兰表达式求值

根据逆波兰表示法，求表达式的值。
有效的运算符包括 +, -, *, / 。每个运算对象可以是整数，也可以是另一个逆波兰表达式。
说明：
整数除法只保留整数部分。
给定逆波兰表达式总是有效的。换句话说，表达式总会得出有效数值且不存在除数为 0 的情况。

对比上面的操作，这题考的是一个逆向思维。

思路

1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
2. 从左至右扫描逆波兰表达式
   1. 遇到操作数时，压入栈 stack
   2. 遇到运算符时，依次取出栈顶的两个元素b、a（为了照顾(减)除法操作，先出栈的为被(减)除数 b ，后出栈的为(减)除数 a ），调用 operation 策略对象的相应方法，并将运算结果入栈 stack
3. 重复步骤 2，直到表达式的最右边
4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

carbon的副本.png

波兰表达式求值

这个就举一反三就完事了。

思路

1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
2. 从右至左扫描波兰表达式
   1. 遇到操作数时，压入栈 stack
   2. 遇到运算符时，依次取出栈顶的两个元素a、b（为了照顾(减)除法操作，先出栈的为被(减)除数 a ，后出栈的为(减)除数 b ），调用 operation 策略对象的相应方法，并将运算结果入栈 stack
3. 重复步骤 2，直到表达式的最左边
4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

carbon的副本2.png

模拟 eval('(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5')

思路

经过上面的熟悉和理解，这个就很简单了，只要将中缀表达式转换成后缀表达式或者前缀表达式其中的一种，再进行求值即可，代码就是把上面的组装一下，这里就不列出了。

后记

工作一段时间，算法和数据结构渐渐生疏了，在刷题的时候，又把大学的学习的知识慢慢找回来，虽然要花一段时间，但是一旦将时间投入进去，会慢慢地感兴趣，进入良性循环。

贴个GitHub，刚刚起步进行“圣地巡礼”：https://github.com/LazyDuke/leetcode-js。