学习笔记-L1与L2正则化

作者: Pluto_wl | 来源:发表于2020-03-02 16:38 被阅读0次

当模型过拟合时，我们常常使用正则化去减轻模型的复杂度。它主要在损失函数后添加正则项去约束模型。

L1与L2正则化

L2 norm : $loss(y_i, \hat y_i|w)= loss(y_i,\hat y_i|w)+\lambda \left \| w \right \|_{2}^{2}$ , $\left \| w \right \|_{2}$ 表示参数 $w$ 的 $L2$ 范式。

相同点
都会使参数变小，减轻模型过拟合
不同点
1. L1会使部分参数变为0，使得参数稀疏。类似于特征选择，将不重要的特征变为0。一般用于输入特征之间具有相关性。
2. L2会使参数变小，使得参数矩阵变得平滑。小的参数可以抵抗更强的噪音，假设 $y=w_1x_1+w_2x_2$ ,令 $w_1$ =0.5。当噪音 $x_1=2$ 得到来得时候,现在由0.5产生的噪音为1，如果 $w_1$ 等于0.1时，那么产生的噪音为0.2，比1小的多，所以小的参数可以抵抗噪音。

L1使参数为0的原因
假设参数矩阵是二维的，即 $(w_1,w_2)$ , $L1$ 正则化相当于定义了一个矩形的解空间， $L2$ 正则化定义了圆形的解空间。可以从图中看到， $L1$ 正则化解空间棱角分明，更容易在在坐标轴处与目标函数的等高线相切。可以想象在高维的参数矩阵中，棱角会密密麻麻，在棱角处总会产生一个或多个 $w=0$ 。所以含有L1正则化项的目标函数的最优解中，有很多参数的值都为0，即得到稀疏模型。

来自于参考文献3

L2使参数变小的原因
假设损失函数为均方差损失函数, $f(x)$ 表示模型， $\theta$ 表示模型参数，为计算简单，只使用样本 $i$ 进行损失函数的计算。
$J(\theta)=\frac{1}{2}(f(x)_i-y_i)^2$
使用梯度下降法对参数更新

求导
$\frac{\mathrm{d(J(\theta))} }{\mathrm{d} \theta}=(f(x)_i-y_i)x_i$
更新参数
$\theta=\theta- lr*(f(x_i)-y_i)x_i$

加入L2正则后
$J(\theta)=\frac{1}{2}(f(x_i)-y_i)^2+ \frac{1}{2} \lambda \left \| \theta \right \|_2^2$
使用梯度下降法对参数更新

求导
$\frac{\mathrm{d(J(\theta))} }{\mathrm{d} \theta}=(f(x_i)-y_i)x_i +\lambda \theta$
更新参数
$\theta=\theta- lr*[(f(x_i)-y_i)x_i+\lambda \theta]$
$\theta=\theta(1-lr*\lambda)-lr*(f(x_i)-y_i)$

比较两者的参数更新函数，可以看到加入 $L2$ 正则化后，等号右边的 $\theta$ 多乘了一项小于0的数，所以 $\theta$ 会越来越小

L1和L2参数的选择

根据经验选择
使用交叉验证的方式选择

L1正则化的问题

岭回归与Lasso回归

岭回归
Ridge回归：又叫岭回归。在线性回归的损失函数上加 $L2$ 正则化，其公式入下：
$J(\theta) = \frac{1}{2}(f(X) -Y)^2 + \frac{1}{2}\lambda||\theta||_2^2$

使用梯度下降法求参数 $\theta$ 时，参数利用下方公式进行更新， $lr$ 为学习率
$\mathbf\theta= \mathbf\theta -\lambda (f(X)^T(f(X) - Y) + lr *\theta)$
岭回归的代价函数仍然是一个凸函数，因此可以利用梯度等于0的方式求得全局最优解（正规方程）。换句话说，使用最小二乘法更新参数时，可以直接求出 $\theta$ 的解析解(解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值)
$\theta = (f(X)^Tf(X) + \lambda E)^{-1}f(X)^TY$

上述正规方程与一般线性回归的正规方程相比，多了一项 $λE$ ，其中 $E$ 表示单位矩阵。假如 $X^TX$ 是一个奇异矩阵（不满秩），添加这一项后可以保证该项可逆。由于单位矩阵的形状是对角线上为1其他地方都为0，看起来像一条山岭，因此而得名。

Lasso回归
Lasso回归：在线性回归的损失函数上加 $L1$ 正则化，公式如下：
$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(X-Y)^2 + \alpha||\theta||_1$
由于 $L1$ 正则化可以使参数矩阵稀疏，达到特征选择的效果。但同时也带来了Lasso损失函数不是连续可导的，原因是当我们对损失函数求导时， $\frac{\mathrm{d(J(\theta))} }{\mathrm{d} (||\theta||)}$ 是个分段函数，需要考虑当 $\theta >0$ , $\theta<0$ 与 $\theta=0$ 这三种情况。通常使用坐标下降法来对求得Lasso的参数。

Lasso 求导

与梯度下降的不同
坐标下降法的思想是在所有坐标中选取一个坐标作为下降的方向，固定其他坐标。然后进行迭代的操作。与梯度下降法不同，梯度下降法是根据当前梯度的负方向下降，而坐标下降是沿着坐标的方向下降。
坐标下降的数学依据

来自参考文献3
计算流程

a

c
我们得到当的时候，w的参数就更新为0

elastic net

根据上文我们知道 $l1$ 正则化具有特征选择的功能，但是当多个特征具有很强的相关性时，它是否能选择出最好的特征呢？这显示是不能的。
举例说明一下：假设特征可以分为两组t1(x1,x3,x5),t2(x2,x4)。当选取特征x1与x2时，模型效果最好，但是 $L1$ 正则是随机选则的特征，有可能是x3,x4，也有可能是其他。
解决这个问题的方法是同时使用 $L1$ 正则和 $L2$ 正则。

优点

grouped selection
结合了L1和L2正则化的优点,从下图中可以看到，Elastic Net的解空间综合了L1和L2的特点

d

在具有多个特征，并且特征之间具有一定关联的数据中比较有用

参考文献

1.《统计学习方法》第二版李航

心声：刚开始写博客真的好难啊！感觉自己写的既不清楚了又没条理。再接再厉！

学习笔记-L1与L2正则化

L1与L2正则化

L1和L2参数的选择

L1正则化的问题

岭回归与Lasso回归

elastic net

参考文献

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