矢量代数
两个矢量 与 的点积 是一个标量,定义为
两个矢量 与 的叉积 是一个矢量,定义为
矢量 与矢量 的点积 称为标量三重积,它具有如下运算性质:
矢量 与矢量 的叉积 称为矢量三重积,它具有如下运算性质:
三种常用的正交坐标系
直角坐标系 ( )
直角坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 、 和 ,遵循右手螺旋法则:
长度元
面积元
体积元
圆柱坐标系 ()
圆柱坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 、 和 ,遵循右手螺旋法则:
长度元
面积元
体积元
球坐标系 ()
球坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 、 和 ,遵循右手螺旋法则:
长度元
面积元
体积元
坐标单位矢量之间的变换
标量场的梯度
标量场的等值面
标量场可用一个标量函数来描述
标量场的等值面方程为
标量场的方向导数
在直角坐标系中方向导数的计算公式为式中, 是方向 的方向余弦。
z标量场的梯度
标量场的梯度 是一个矢量,在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为
矢量场的散度
矢量场的矢量线
矢量场可用一个矢量函数来描述矢量场的矢量线微分方程为
矢量场的通量
矢量场 穿出闭合面 的通量为
z矢量场的散度
矢量场的散度 是一个标量,在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为
散度定理
矢量场的散度在体积 上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面 上的面积分,即 散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系,在电磁理论中非常有用。
矢量场的旋度
矢量场的环流
矢量场 沿闭合路径 的环流为
z矢量场的旋度
矢量场的旋度 是一个矢量,在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为
斯托克斯定理
矢量场的旋度在曲面 上的面积分等于矢量场沿限定该曲面的闭合路径 的线积分,即斯托克斯定理是矢量场中的面积分与为线积分之间的一个变换关系,在电磁理论中也很有用。
无旋场与无散场
无旋场
标量场的梯度有一个重要的性质,就是它的旋度恒等于 ,即一个旋度处处为 的矢量场 称为无旋场,可以把它表示为一个标量场的梯度,即如果 ,则存在标量函数 ,使得
无散场
矢量场的旋度有一个重要性质,就是旋度的散度恒等于0,即一个散度处处为 的矢量场 称为无散场,可以把它表示为一矢量场的旋度,即如果 ,则存在矢量函数 ,使得
拉普拉斯运算和格林定理
拉普拉斯运算
在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中, 的表达式分别为
格林定理
格林第一恒等式
格林第二恒等式
亥姆霍兹定理
矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度,一个矢量场所具有的性质可由它的散度和旋度来说明。可以证明:在有限的区域 内,任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件(即限定区域 内的闭合面 上的矢量场的分布)唯一地确定,且可表示为
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