机器学习基石第十四节

名词：
（本节主要内容）Regularization正则化，使用一定的条件对多项式进行改造，目的是防止过拟合和欠拟合，得到更好的答案
regularized 使合法化，合法化的
ridge regression ？？
largrange multiplier
augmented error 扩张的

image.png

转自：https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/72765542

上节课我们介绍了过拟合发生的原因：excessive power, stochastic/deterministic noise 和limited data。并介绍了解决overfitting的简单方法。本节课，我们将介绍解决overfitting的另一种非常重要的方法：Regularization规则化。

一、Regularized Hypothesis Set

先来看一个典型的overfitting的例子：

这里写图片描述

如图所示，在数据量不够大的情况下，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然Ein很小，但是Eout很大，也就造成了过拟合现象。那么如何对过拟合现象进行修正，使hypothesis更接近于target function呢？一种方法就是regularized fit。

这里写图片描述

这种方法得到的红色fit曲线，要比overfit的红色曲线平滑很多，更接近与目标函数，它的阶数要更低一些。那么问题就变成了我们要把高阶（10阶）的hypothesis sets转换为低阶（2阶）的hypothesis sets。通过下图我们发现，不同阶数的hypothesis存在如下包含关系：

这里写图片描述

我们发现10阶多项式hypothesis sets里包含了2阶多项式hypothesis sets的所有项，那么在H10中加入一些限定条件，使它近似为H2即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。如何从10阶转换为2阶呢？首先，H10可表示为：

H10=w0+w1x+w2x2+w3x3+⋯+w10x10

而H2可表示为：

H2=w0+w1x+w2x2

所以，如果限定条件是w3=w4=⋯=w10=0，那么就有H2=H10。也就是说，对于高阶的hypothesis，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重w限制为0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶，fit波形更加平滑，不容易发生过拟合。

这里写图片描述

那有一个问题，令H10高阶权重w为0，为什么不直接使用H2呢？这样做的目的是拓展我们的视野，为即将讨论的问题做准备。刚刚我们讨论的限制是H10高阶部分的权重w限制为0，这是比较苛刻的一种限制。下面，我们把这个限制条件变得更宽松一点，即令任意8个权重w为0，并不非要限定w3=w4=⋯=w10=0，这个Looser Constraint可以写成：
∑q=010(wq≠0)≤3
也就只是限定了w不为0的个数，并不限定必须是高阶的w。这种hypothesis记为H′2，称为sparse hypothesis set，它与H2和H10的关系为：

H2⊂H′2⊂H10

这里写图片描述

Looser Constraint对应的hypothesis应该更好解一些，但事实是sparse hypothesis set H′2

被证明也是NP-hard，求解非常困难。所以，还要转换为另一种易于求解的限定条件。

那么，我们寻找一种更容易求解的宽松的限定条件Softer Constraint，即：

∑q=010w2q=||w||2≤C

其中，C是常数，也就是说，所有的权重w的平方和的大小不超过C，我们把这种hypothesis sets记为H(C)。H′2与H(C)的关系是，它们之间有重叠，有交集的部分，但是没有完全包含的关系，也不一定相等。对应H(C)，C值越大，限定的范围越大，即越宽松：

H(0)⊂H(1.126)⊂⋯⊂H(1126)⊂⋯⊂H(∞)=H10

当C无限大的时候，即限定条件非常宽松，相当于没有加上任何限制，就与H10没有什么两样。H(C)称为regularized hypothesis set，这种形式的限定条件是可以进行求解的，我们把求解的满足限定条件的权重w记为wREG。接下来就要探讨如何求解wREG。

二、Weight Decay Regularization

现在，针对H(c)，即加上限定条件，我们的问题变成：

这里写图片描述

我们的目的是计算Ein(w)的最小值，限定条件是||w2||≤C。这个限定条件从几何角度上的意思是，权重w被限定在半径为C‾‾√的圆内，而球外的w都不符合要求，即便它是靠近Ein(w)梯度为零的w。

这里写图片描述

下面用一张图来解释在限定条件下，最小化Ein(w)

的过程：

这里写图片描述

如上图所示，假设在空间中的一点w，根据梯度下降算法，w会朝着−∇Ein的方向移动（图中蓝色箭头指示的方向），在没有限定条件的情况下，w最终会取得最小值wlin，即“谷底”的位置。现在，加上限定条件，即w被限定在半径为C‾‾√的圆内，w距离原点的距离不能超过圆的半径，球如图中红色圆圈所示wTw=C。那么，这种情况下，w不能到达wlin的位置，最大只能位于圆上，沿着圆的切线方向移动（图中绿色箭头指示的方向）。与绿色向量垂直的向量（图中红色箭头指示的方向）是圆切线的法向量，即w的方向，w不能靠近红色箭头方向移动。那么随着迭代优化过程，只要−∇Ein与w点切线方向不垂直，那么根据向量知识，−∇Ein一定在w点切线方向上有不为零的分量，即w点会继续移动。只有当−∇Ein与绿色切线垂直，即与红色法向量平行的时候，−∇Ein在切线方向上没有不为零的分量了，也就表示这时w达到了最优解的位置。有了这个平行的概念，我们就得到了获得最优解需要满足的性质：

∇Ein(wREG)+2λNwREG=0

上面公式中的λ称为Lagrange multiplier，是用来解有条件的最佳化问题常用的数学工具，2N是方便后面公式推导。那么我们的目标就变成了求解满足上面公式的wREG。之前我们推导过，线性回归的Ein的表达式为：

Ein=1N∑n=1N(xTnw−yn)2

计算Ein梯度，并代入到平行条件中，得到：

2N(ZTZwREG−ZTy)+2λNwREG=0

这是一个线性方程式，直接得到wREG为：

wREG=(ZTZ+λI)−1ZTy

上式中包含了求逆矩阵的过程，因为ZTZ是半正定矩阵，如果λ大于零，那么ZTZ+λI一定是正定矩阵，即一定可逆。另外提一下，统计学上把这叫做ridge regression，可以看成是linear regression的进阶版。如果对于更一般的情况，例如逻辑回归问题中，∇Ein不是线性的，那么将其代入平行条件中得到的就不是一个线性方程式，wREG不易求解。下面我们从另一个角度来看一下平行等式：

∇Ein(wREG)+2λNwREG=0

已知∇Ein是Ein对wREG的导数，而2λNwREG也可以看成是λNw2REG的导数。那么平行等式左边可以看成一个函数的导数，导数为零，即求该函数的最小值。也就是说，问题转换为最小化该函数：

Eaug(w)=Ein(w)+λNwTw

该函数中第二项就是限定条件regularizer，也称为weight-decay regularization。我们把这个函数称为Augmented Error，即Eaug(w)。如果λ不为零，对应于加上了限定条件，若λ等于零，则对应于没有任何限定条件，问题转换成之前的最小化Ein(w)。

下面给出一个曲线拟合的例子，λ取不同的值时，得到的曲线也不相同：

这里写图片描述

从图中可以看出，当λ=0时，发生了过拟合；当λ=0.0001时，拟合的效果很好；当λ=0.01和λ=1时，发生了欠拟合。我们可以把λ看成是一种penality，即对hypothesis复杂度的惩罚，λ越大，w就越小，对应于C值越小，即这种惩罚越大，拟合曲线就会越平滑，高阶项就会削弱，容易发生欠拟合。λ一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

这里写图片描述

事实上，这种regularization不仅可以用在多项式的hypothesis中，还可以应用在logistic regression等其他hypothesis中，都可以达到防止过拟合的效果。

我们目前讨论的多项式是形如x,x2,x3,⋯,xn的形式，若x的范围限定在[-1,1]之间，那么可能导致xn相对于低阶的值要小得多，则其对于的w非常大，相当于要给高阶项设置很大的惩罚。为了避免出现这种数据大小差别很大的情况，可以使用Legendre Polynomials代替x,x2,x3,⋯,xn

这种形式，Legendre Polynomials各项之间是正交的，用它进行多项式拟合的效果更好。关于Legendre Polynomials的概念这里不详细介绍，有兴趣的童鞋可以看一下维基百科。

三、Regularization and VC Theory

下面我们研究一下Regularization与VC理论之间的关系。Augmented Error表达式如下：

Eaug(w)=Ein(w)+λNwTw

VC Bound表示为：

Eout(w)≤Ein(w)+Ω(H)

其中wTw表示的是单个hypothesis的复杂度，记为Ω(w)；而Ω(H)表示整个hypothesis set的复杂度。根据Augmented Error和VC Bound的表达式，Ω(w)包含于Ω(H)之内，所以，Eaug(w)比Ein更接近于Eout，即更好地代表Eout，Eaug(w)与Eout之间的误差更小。

这里写图片描述

根据VC Dimension理论，整个hypothesis set的dVC=d˘+1，这是因为所有的w都考虑了，没有任何限制条件。而引入限定条件的dVC(H(C))=dEFF(H,A)，即有效的VC dimension。也就是说，dVC(H)比较大，因为它代表了整个hypothesis set，但是dEFF(H,A)比较小，因为由于regularized的影响，限定了w只取一小部分。其中A表示regularized算法。当λ>0时，有：

dEFF(H,A)≤dVC

这些与实际情况是相符的，比如对多项式拟合模型，当λ=0时，所有的w都给予考虑，相应的dVC很大，容易发生过拟合。当λ>0且越来越大时，很多w将被舍弃，dEFF(H,A)减小，拟合曲线越来越平滑，容易发生欠拟合。

四、General Regularizers

那么通用的Regularizers，即Ω(w)，应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：

• target-dependent

• plausible

• friendly

这里写图片描述

其实这三种方法跟之前error measure类似，其也有三种方法：

• user-dependent

• plausible

• friendly

regularizer与error measure是机器学习模型设计中的重要步骤。

这里写图片描述

接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1。L2 Regularizer一般比较通用，其形式如下：

Ω(w)=∑q=0Qw2q=||w||22

这种形式的regularizer计算的是w的平方和，是凸函数，比较平滑，易于微分，容易进行最优化计算。

L1 Regularizer的表达式如下：

Ω(w)=∑q=0Q|wq|=||w||1L1计算的不是w的平方和，而是绝对值和，即长度和，也是凸函数。已知wTw=C围成的是圆形，而||w||1=C围成的是正方形，那么在正方形的四个顶点处，是不可微分的（不像圆形，处处可微分）。根据之前介绍的平行等式推导过程，对应这种正方形，它的解大都位于四个顶点处（不太理解，欢迎补充赐教），因为正方形边界处的w绝对值都不为零，若−∇Ein不与其平行，那么w就会向顶点处移动，顶点处的许多w分量为零，所以，L1 Regularizer的解是稀疏的，称为sparsity。优点是计算速度快。

这里写图片描述

下面来看一下λ如何取值，首先，若stochastic noise不同，那么一般情况下，λ取值有如下特点：

这里写图片描述

从图中可以看出，stochastic noise越大，λ越大。

另一种情况，不同的deterministic noise，λ取值有如下特点：

这里写图片描述

从图中可以看出，deterministic noise越大，λ越大。以上两种noise的情况下，都是noise越大，相应的λ也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即noise越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是regularization。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择λ？这部分内容，我们下节课将会讨论。

五、总结

本节课主要介绍了Regularization。首先，原来的hypothesis set加上一些限制条件，就成了Regularized Hypothesis Set。加上限制条件之后，我们就可以把问题转化为Eaug最小化问题，即把w的平方加进去。这种过程，实际上回降低VC Dimension。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target-dependent，plausible，friendly等等。下节课将介绍如何选取合适的λ来建立最佳拟合模型。