什么是汉明距离

下面引用自维基百科：

在信息论中，两个等长字符串之间的汉明距离（英语：Hamming distance）是两个字符串对应位置的不同字符的个数。换句话说，它就是将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。

对于两个数字来说，汉明距离就是转成二进制后，对应的位置值不相同的个数。例如，假设有两个十进制数a=93和b=73，如果将这两个数用二进制表示的话，有a=1011101、b=1001001，可以看出，二者的从右往左数的第3位、第5位不同（从1开始数），因此，a和b的汉明距离是2。

汉明距离是以理查德·卫斯里·汉明的名字命名的。在通信传输过程中，累计定长二进制字中发生翻转的错误数据位，所以它也被称为信号距离。汉明距离在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。

如何计算汉明距离

既然目标是计算两个二进制数的对应位的值不同的个数，我们自然会联想到异或运算。因为异或运算的原则就是相同为0，不同为1。因此，通过计算c = a XOR b，然后统计c中的各二进制位出现的1的次数，就能得到汉明距离了。

为了统计c的二进制格式中1出现的次数，我们可以将c逐步右移，并且每次将其和1（假设位宽是8，也就是00000001）进行与运算，以检测最右边的位是否为1（如果最右边的位是1，那么与运算的结果肯定也是1，否则为0）。一个循环下来，就能检测出c中1出现的次数了。

def hammingDistance(x, y):
    xor = x ^ y
    distance = 0
    # 每次右移，最左边都会补零，因此截止条件是xor已经是一个零值了
    while xor:
        if xor & 1:
            distance = distance + 1
        xor = xor >> 1
    return distance

布赖恩·克尼根算法

上述算法是一个很符合直觉的算法，但需要遍历所有的位。这里给出一个更精巧的思路，可以提高性能。

我们先观察如下一个现象：对于任意一个非零的二进制数a（将其看作无符号数），考虑a和a-1的关系。由于a非零，那么a中总有一些位为1。假设a中最低位的1处于从右向左数的第N位。那么，a的第N位以及第N位以后的每一位的值和a-1的第N位及第N位以后的每一位的值均不同。

举个例子就很容易理解了。我们以8位数来描述。假设a=10010000，根据上述描述，从右往左数的第一个1出现在第5位，那么有N=5。同时可以计算出a-1=10001111，可以看到，从第N位开始，a的后缀是10000，而a-1的后缀是01111。满足上述描述的现象。

进一步地，我们可以发现，如果对a和a-1进行与操作，就会直接消去位于最后一位，也就是第N位的1。还以上面的a为例，a & (a-1)=10000000。可以看到，我们不需要遍历，而是通过一次运算，就可以把a中的最后一个1消掉。如果我们一直重复这项操作，那么a里有多少个1，我们就仅需要多少次a & (a-1)的操作，就能把a化为0了。而这个操作的次数正是我们所要求的。

再举例看一下这个过程。假设一个数x=10010001，那么有：

x = 10010001, x-1 = 10010000, y = x & (x - 1) = 10010000
y = 10010000, y-1 = 10001111, z = y & (y - 1) = 10000000
z = 10000000, z-1 = 01111111, z & (z - 1) = 00000000

x里有3个1，经过上述过程，只需要3次操作，就能得知x中有多少个1。而如果使用遍历的方法的话，需要8次操作才行。

改进的求汉明距离的代码如下：

def hammingDistance(x, y):
    xor = x ^ y
    distance = 0
    while xor:
        distance = distance + 1
        xor = xor & (xor - 1)
    return distance

这也是leetcode上的一道热题#461，大家可以参考。