一文通俗搞懂线性无关特征向量个数≤特征值重数

线代有个很难理解的知识点，即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。

这个结论是怎么来的呢？本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点（结论推导所用的都是基础的线代知识，只是有些数学式子比较复杂，认真看完，理解很容易，相信自己！）。

a.首先一起看下会用到的两个tips：

tip 1：一定可以找到n个线性无关的n维向量，且它们可以表示任何一个n维向量

比如2维向量：能找到  和 两个线性无关的向量，能表示二维平面里面的所有向量。

3维向量：能找到，，三个线性无关的向量，能表示三维立体空间里面的所有向量。

例图

tip 2：来计算一下某种行列式的值

n阶行列式：

具有某种规律的行列式（其中m＜n）

以5阶为例，一起来找规律。

找规律

由此可见，其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。

于是我们将此规律扩展到n维：

拓展到n维（为了方便，将后面的常数用*代替）

至此两个需要用到的tips讲完了，接着开始证明。

b.准备就绪，开始证明：

设A为n阶矩阵，是它特征值（重根）， ~分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是 的重数要≥m

证明：

1.构造一个n阶可逆矩阵P：

由于  ~为n维向量，所以一定能找到 ~，使 ~线性无关且可以表示任何一个n维向量（根据前面tip 1得到的）.

因此可以构造出一个n阶可逆矩阵 

2.A左乘可逆矩阵P：

由特征值与特征向量的关系：得

又因为： 的结果为n维向量（i=m+1，m+2，…，n）

所以 的结果可以用 ~ 线性表示出来（根据tip 1得到的），即：

2.把AP的结果用矩阵表示：

所以就有：                                 

3.减去后，取行列式 ：

左边：

右边：

即得：

最后取行列式得：

左边： 

右边：根据之前的tip 2得： 

即得：

所以可以得到  至少为m重根，为什么至少呢？因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个 出来，所以用至少这个词。

到此为止，我们得到想证的的重数要≥m，命题成立。