定义
多变量假设：输出由多维输入决定，即输入为多维特征。对于前文的房价预测的案例，假设变量从房屋面积，增加到卧室数量，层数，房屋年限三个变量，给出数据集如下图所示：Price为输出，前面四维为输入：
多特征向量
Tips：
n = 特征数目
x(i)= 第i个训练样本的所有输入特征，可以认为是一组特征向量
x(i)j = 第i个训练样本第j个特征的值，可以认为是特征向量中的第j个值
假设h(x)=θ0+θ1x1+……所谓多参数线性回归即每个输入x有(n+1)维[x0……xn]1. 多特征量线性假设模型，
hθ(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + θ3x3 + θ4x4
为了方便，记x0 = 1，则多变量线性回归可以记为：
hθ(x)=θTx
其中：
多特征量的梯度下降算法
而对于多变量的梯度下降算法，
对于Hypothesis:hθ(x)=θTx=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn
其中参数：θ0, θ1,…,θn可表示为n+1维的向量 θ
对于Cost Function:
梯度下降算法可以改造为：
多特征量的归一
如果你有一个机器学习问题 这个问题有多个特征 如果你能确保这些特征 都处在一个相近的范围 我的意思是确保 不同特征的取值 在相近的范围内，这样梯度下降法就能更快地收敛，否则不但会收敛速度慢，而且还会出现波动甚至震荡，这就用到了Feature Scaling算法。
思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间；
方法一：Mean Normalization，即简单的归一化，除以每组特征的最大值，则：
例如房价问题：特征1：房屋的大小（0-2000）；特征2：房间数目（1-5）；
其等高线如下：
按照简单归一化处理，
其等高线为
方法二：均值归一化，基本思想是用xi–μi替换xi使特征的均值近似为0（但是不对x0=1处理），均值归一化的公式是：
其中：
Si可以是特征的取值范围（最大值-最小值），也可以是标准差(standard deviation).
μi是训练集xi的均值。
学习速率的选择
对于梯度下降算法：需要注意两点：
-“调试”：如何确保梯度下降算法正确的执行；
-如何选择正确的步长(learning rate): α;
第二点很重要，它也是确保梯度下降收敛的关键点。要确保梯度下降算法正确运行，需要保证 J(θ)在每一步迭代中都减小，如果某一步减少的值少于某个很小的值 ϵ , 则其收敛。例如：
300步到400步迭代之间 也就是曲线的这一段 看起来 J(θ) 并没有下降多少 所以当你 到达400步迭代时 这条曲线看起来已经很平坦了 也就是说 在这里400步迭代的时候 梯度下降算法 基本上已经收敛了 因为代价函数并数并没有继续下降 所以说 看这条曲线 可以帮助你判断 梯度下降算法是否已经收敛.即如果代价函数 J(θ) 的下降小于 一个很小的值 ε 那么就认为已经收敛，通常要选择一个合适的阈值 ε 是相当困难的。通常会尝试一系列α值 所以在运行梯度下降算法制 请尝试不同的 α 值 比如0.001, 0.01 这里每隔10倍 取一个值 然后对于这些不同的 α 值 绘制 J(θ) 随迭代步数变化的曲线 然后选择 看上去使得 J(θ) 快速下降的一个 α 值。
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