假设函数：
参数：θ
特征量：x
代价函数：
梯度下降算法：下图为梯度下降的目的，找到J（θ）的最小值。
例子
其实，J(θ)的真正图形是类似下面这样的，因为其是一个凸函数，只有一个全局最优解，所以不必担心像上图一样找到局部最优解。
凸函数
等高线图
θ参数公式
特征缩放：
特征缩放(Feature scaling)，在这里我认为它是对用于梯度下降法的数据进行处理的方法。它的作用是，将多个特征的数据的取值范围处理在相近的范围内，从而使梯度下降更快地收敛。
(1) 该特征的值/该特征的最大值
x=x/s
(2) (该特征值-该特征最大取值的一半）/（该特征的最大值）
x=（x-μ）/s
μ：特征量平均值 s：特征量最大值减最小值
学习率：
除了特征的缩放会影响梯度下降的运算，学习速率也会直接影响。这里所说的“学习速率”，指的是梯度下降表达式中的α。
如何判断学习速率是否合适？最直接的方法是，画出训练后代价函数和迭代数的图像，根据图像去判断调整。除此之外，还可以使用自动检测法。即当代价函数在迭代中，小于一个很小的值时，我们就认为梯度下降收敛。但是，这个“很小的值”是很难确定的，一般可取1e-3。当然，还是优先选择第一种方法判断！下面就列举几种常见情况进行讲解。
数学原理证明，只要学习速率足够小，代价函数一定会减小，只是学习速率太小的话，迭代的次数会增加。在具体实现时，α的取值可以通过不断尝试，不断调整，最终确定。可尝试的值：0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，0.3，1
单变量与多变量线性回归比较：
比较
正规方程法：
（m×(n+1)的矩阵）
（(n+1)×1的矩阵）
（(n+1)×1的矩阵）
由线性代数运算，可得：
正规方程
观察该方程，也许你会有疑问：如果X'X不可逆的时候，怎么办呢？
首先，我们要搞明白什么时候会使它不可逆。原因：
1.特征中，有冗余的特征向量，如：向量之间互为线性；
2.训练数据太少，特征太多。
解决方法：针对第一个原因，我们可以删除冗余的特征；针对第二个，我们可以适当去掉一些不那么重要的特征，或者使用正规化方法。
Python代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Jan 22 14:27:15 2017
@author: louishao
"""
import numpyas np
#train data
train_x = np.mat([[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[1,7],[1,8],[1,9],[1,10],[1,11],[1,12],[1,13],[1,14]])
train_y = np.mat([3.0,5.0,7.0,9.0,11.0,13.0,15.0,17.0,19.0,21.0,23.0,25.0,27.0,29.0])
# transpose the train_y
y = np.transpose(train_y)
#transpose the train_x
transposex = np.transpose(train_x)
#the inverse
invx = np.linalg.inv(transposex*train_x)
theta = invx*transposex*y
theta1 =float(theta[1][0])
theta0 =float(theta[0][0])
print "the predict function is y=%sx+%s"%(theta1,theta0)
梯度下降和正规方程的比较:
比较
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