数据结构与算法--二叉树

二叉树基础

树（Tree）

树是一种非线性表结构，比线性表的数据结构要复杂的多：

树的种类
树、二叉树
二叉查找树
平衡二叉查找树、红黑树
递归树

“树”的特征

“树”这种数据结构里面每个元素叫做“节点”；用来连接相邻节点之间的关系叫做“父子关系”。

比如下面这幅图，A节点就是B结点的父节点，B节点是A结点的子节点。B、C、D这三个结点的父节点是同一个节点，所以他们之间互称为兄弟节点。没有父节点的节点叫根节点，也就是图中的节点E。没有子节点的节点叫做叶子节点或者叶节点，比如如中的
G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

高度（Height）、深度（depth）、层（Level）的定义：

节点的高度 = 节点到叶子节点的最长路径（边数）
节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数
节点的层数 = 节点的深度 + 1
树的高度 = 根节点的高度

“高度”是从下往上度量，从最底层开始计数，计量的起点是0。

“深度”是从上往下度量，从根节点开始度量计数起点也是0。

“层数”跟深度的计算类似，不过计数起点是1。

二叉树（Binary Tree）

二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。

二叉树可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是O(n)，需要用递归代码来实现。

二叉树是树的一种，特点是每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
不过，二叉树有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点：

上图编号2的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫做满二叉树。

编号3的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。

完全二叉树

完全二叉树和非完全二叉树的区别：

最后一层的叶子节点靠左排列的才叫完全二叉树，如果靠右排列就不能叫完全二叉树了。

存储一棵树有两种方式，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。

链式存储法中每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。从根节点开始可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树都是通过这种结构来实现的。

基于数组的顺序存储法：把根节点存储在下标i = 1的位置，那左子节点存储在下标2 * i的位置，右子节点存储在2 * i + 1 = 3的位置。以此类推，B节点的左子节点存储在2 * i = 2 * 2 = 4的位置，右子节点存储在2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5的位置。

如果节点X存储在数组中下标为i的位置，左子节点的下标为2 * i，右子节点为2 * i + 1.反过来，下标为 i / 2的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为1的位置），就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

一颗完全二叉树仅仅“浪费”了一个下标为0的存储位置，如果是非完全二叉树，会浪费比较多的数组存储空间。

如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组存储方式并不需要存储额外的左右子节点的指针。

堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式是数组。

二叉树的遍历

将二叉树所有节点遍历打印出来有三种方式，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。

• 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历是指，对于书中的任意节点，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如，前序遍历，其实就是先打印根节点，然后再递归打印左子树，最后递归地打印右子树。

写递推公式的关键就是，如果要解决问题A，就假设子问题B、C已经解决，然后再来看如何利用B、C来解决A。前、中、后序遍历的递推公式：

前序遍历的递推公式
preOrder(r) = print r -> preOrder(r -> left) -> preOrder(r -> right)

中序遍历的递推公式
inOrder(r) = inOrder(r -> left) -> print r -> inOrder(r -> right)

后序遍历的递推公式
postOrder(r) = postOrder(p -> left) -> postOrder(r -> right) -> r

java伪代码

void preOrder(Node* root){
    if (root == null) return;
    print root 
    preOrder(root -> left);
    preOrder(root -> right)
}

void inOrder(Node* root){
    if (root == null) return;    
    inOrder(root -> left);
    print root;
    inOrder(root -> right);
}

void postOrder(Node* root){
    if (root == null) return;
    postOrder(root -> left);
    psotOrder(root -> right);
    print root;
} 

二叉树遍历的时间复杂度
遍历过程中每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度跟节点的个数n成正比，二叉树遍历的时间复杂度是O(n)。

按层次遍历二叉树

除了前、中、后序三种二叉树遍历方式外还有按层遍历这种遍历方式。

实现思路：
按照广度优先的遍历算法的思路，引入一个队列，根节点现如队列，然后开始从队列头部取元素，每取一个元素则先打印当前元素，然后依次将左右子节点加入队列，若左子节点或右子节点为空则跳过此步。

python实现代码：

from collections import deque

# 层级遍历
def layer_order(root: TreeNode):
    if not root: return
    queue = deque([root])
    while queue:
        e: TreeNode = queue.popleft()
        yield e.val
        if e.left: queue.append(e.left)
        if e.right: queue.append(e.right)

给定一个二叉树，返回其按层次遍历的节点值。（即逐层地，从左到右访问所有节点）

例如：给定二叉树：[3, 20, null, null, 15, 7]

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

返回其层次遍历结果：

[
  [3],
  [9, 20]
  [15, 7]
]

python代码实现
：

def level_order(root: TreeNode):
    levels = []
    if not root:
        return levels
    level = 0
    queue = deque([root])
    while queue:
    levels.append([])
    for i in range(len(queue)):
        node = queue.popleft()
        levels[level].append(node.val)
        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)
    level += 1
return levels

二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。二叉查找树支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

二叉查找树要求，在树中任意一个节点，其左子树中的每个节点的值都小于这个节点的值，而右子树每个节点的值都大于这个节点的值：

1.二叉查找树的查找操作

先取根节点，如果它等于要查找的数据就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找，如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

java代码实现：

public class BinarySearchTree{
    private Node tree;

    public Node find(int data){
        Node p = tree;
        while(p != null){
            if (data < p.data){
                p = p.left;
            } else if (data > p.data){
                p = p.right;
            } else {
                return p;
            }
        }
        return null;
    }
    public static class Node{
        private int data;
        private Node left;
        private Node right
    
        public Node(int data){
            this.data data;
        }
     }
}

2.二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

java代码实现：

public void insert(int data){
    if (tree == null){
        tree = new Node(data);
        return;
    }
    
    Node p = tree;
    while(p != null){
        if (data > p.data){
            if (p.right == null){
                p.right = new Node(data);
                return;
            }
            p = p.right;
        } else {
            if (p.left == null){
                p.left = new Node(data);
                return;
            }
            p = p.left;
        }
    }
}

3.二叉查找树的删除操作

针对要删除节点的子节点个数的不同需要分2中情况来处理。

如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点）或没有子节点（左右子节点均为null），只需要将要删除的父节点的指针指向要删除节点的子节点。比如下图中删除节点55、13。

如果要删除的节点有两个子节点。需要找到这个节点的右子树的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再按照上面方法删除掉这个最小节点。比如下图中的删除节点18。（用左子树的最大节点进行替换也可以）

java实现代码：

public void delete(int data){
    // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
    Node p = tree;
    // pp记录的是p的父节点
    Node pp = null;
    while (p != null && p.data != data){
        pp = p;
        if (data > p.data) {
            p = p.right;
        } else {
            p = p.left;
        }
    }
    // 没有找到
    if (p == null){
        return;
    }
    
    //要删除的节点有两个子节点
    if (p.left != null && p.right != null){
        //查找右子树中最小的节点
        Node minP = p.right;
        // minPP表示minP的父节点
        Node minPP = p;
        
        while (minP.left != null){
            minPP = minP;
            minP = p.left;
        }
        //将minP的数据替换到p中
        p.data = minP.data;
        //下面就变成了删除minP了
        p = minP;
        pp = minPP;
    }
    
    // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
    // p的子节点
    Node child;
    if (p.left != null){
        child = p.left;
    } else if (p.right != null){
        child = p.right;
    } else {
        child = null;
    }
    
    //删除的是根节点
    if (pp == null) {
        tree = child;
    } else if (pp.left = p){
        pp.left = child;
    } else {
        pp.right = child;
    }
}

关于二叉查找树的删除操作，最简单的方法是单纯将要删除的节点标记为“已删除”并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，缺点是比较浪费内存空间。

4.二叉查找树的其他操作

二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱结点和后继结点。

二叉查找树也叫做二叉排序树，中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是O(n)。

Python代码实现：

def find_min(self) -> Optional[TreeNode]:
    if self.tree is Node: return None
    p = self.tree
    while p.left:
        p = p.left
    return p
    
def find_max(self) -> Optional[TreeNode]:
    if self.tree is None: return None
    p = self.tree
    while p.right:
        p = p .right
    return p
    
def _in_order(self, root: Optional[TreeNode]):
    if root:
        yield from self._in_order(root.left)
        yield root.data
        yield from self._in_order(root.right)
        
def in_order(self) -> list:
    if self.tree is Node:
        return []
    return list(self._in_order(self.tree))

二叉查找树的Python实现代码

from collections import deque
from typing import Optional, List


class TreeNode:
    def __init__(self, data=None):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None


class BinarySearchTree:
    def __init__(self, val_list=None):
        if val_list is None:
            val_list = []
        self.tree: Optional[TreeNode] = None
        for n in val_list:
            self.insert(n)

    def find(self, data):
        p = self.tree
        while p and p.data != data:
            p = p.left if data < p.data else p.right
        return p

    def insert(self, data):
        if not self.tree:
            self.tree = TreeNode(data)
            return
        pp = None
        p = self.tree
        while p:
            pp = p
            p = p.left if p.data > data else p.right
        if pp.data > data:
            pp.left = TreeNode(data)
        else:
            pp.right = TreeNode(data)

    def delete(self, data):
        p: Optional[TreeNode] = self.tree  # p指向要删除的节点，初始化指向根节点
        pp: Optional[TreeNode] = None  # pp记录的是p的父节点
        while p and p.data != data:
            pp = p
            p = p.right if p.data < data else p.left
        if not p: return  # 没有找到

        if p.left and p.right:  # 查找右子树中最小节点
            min_p = p.right  # 记录右子树的最小节点
            min_pp = p  # minPP表示minP的父节点
            while min_p.left:
                min_pp = min_p
                min_p = min_p.left
            p.data = min_p.data  # 替换数据
            p, pp = min_p, min_pp  # p指向要删除的min_p
        #  删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
        child: Optional[TreeNode] = p.left if p.left else p.right
        if not pp:
            self.tree = child  # 删除的是根节点
        elif pp.left == p:
            pp.left = child
        else:
            pp.right = child

    def find_min(self) -> Optional[TreeNode]:
        if self.tree is None: return None
        p = self.tree
        while p.left:
            p = p.left
        return p

    def find_max(self) -> Optional[TreeNode]:
        if self.tree is None: return None
        p = self.tree
        while p.right:
            p = p.right
        return p

    def _in_order(self, root: Optional[TreeNode]):
        if root:
            yield from self._in_order(root.left)
            yield root.data
            yield from self._in_order(root.right)

    def in_order(self) -> list:
        if self.tree is None:
            return []
        return list(self._in_order(self.tree))

    def __repr__(self):
        return str(self.in_order())

    def __iter__(self):
        return self._in_order(self.tree)

    def draw_tree(self):
        if not self.tree:
            return
        # level = 0
        queue = deque([self.tree])
        while queue:
            length = len(queue)
            if set(queue) == {None}: return
            for i in range(length):
                node = queue.popleft()
                if node:
                    print(node.data, end="")
                    queue.append(node.left)
                    queue.append(node.right)
                else:
                    print(None, end="")
                    queue.append(None)
                    queue.append(None)
                if i != length - 1:
                    print(",", end="")
                else:
                    print()


if __name__ == '__main__':
    nums = [4, 2, 10, 6, 1, 7, 3]
    bst = BinarySearchTree(nums)
    print(bst)
    bst.draw_tree()
    # 插入
    bst.insert(5)
    print(bst)

    print(bst.find(2).data)

    # 删除
    bst.delete(6)
    print(bst)
    bst.delete(4)
    print(bst)
    bst.draw_tree()
    # min max
    print(bst.find_max().data)
    print(bst.find_min().data)

支持重复数据的二叉查找树

在实际的软件开发中，在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值来构建二叉查找树，对象中的其他字段叫做卫星数据。

如果存储的两个对象键值相同的两种解决方法：

1. 二叉查找树中每一个结点存储链表或支持动态扩容的数组，把值相同的数据存储在同一个节点上。

2. 每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到了一个节点的值，与要插入数据的值相同，就把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理，放到这个节点的右子树。

查找数据的时候，遇到值相同的节点并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找的值的所有节点都找出来。

对于删除操作也需要先查找每个要删除的节点，然后再一次删除。

二叉查找树的时间复杂度分析

二叉查找树的形态各式各样。下图中同一组数据构造的三种二叉查找树，他们的查找、插入、删除操作的执行效率是不一样的。

不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是O(height)。

上图中，第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了O(n)。

最理想的情况下，二叉查找树是一颗完全二叉树（或满二叉树），插入、删除、查找操作的时间复杂度是O(logn)。

树的高度就等于最大层数减1，包含n个节点的满二叉树中，第一层包含1个节点，第二层包含2个节点，第三层包含4个节点，一次类推，下面一层节点个数是上一层的2倍，第k层包含的节点个数就是2^(k - 1)。

对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数在1到2^(k - 1)个之间（假设最大层数是K）。n满足这样一个关系：

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(k - 2) + 1 <= n <= 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(k - 2) + 2^(k - 1) => 2^(k - 1) <= n <= 2^k - 1 => log(n + 1) <= K <= logn + 1

K的范围是[log(n + 1), logn + 1]。完全二叉树的层数小于等于logn + 1，即高度小于等于logn。

散列表vs二叉查找树

散列表的优势：

三猎豹的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的O(1)，而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作的时间复杂度才是O(logn)。

散列表的劣势：

第一，散列表要输出有序的数据，需要先进行排序；二叉查找树只需要中序遍历，就可以在O(n)的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定；最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。

第三，因为哈希冲突的存在，散列表的实际查找速度可能不一定比O(logn)快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的。

求给定二叉树的确切的高度

思路：
递归法，根节点高度 = max(左子树高度，右子树高度) + 1

实现代码:

def get_level(node: TreeNode) -> int:
    if node is Node: return 0
    return max(get_level(node.left), get_level(node.right)) + 1