任意角
逆时针方向旋转的角叫正角
顺时针方向旋转的角叫负角
不旋转叫零角
象限角
轴线角
与α角终边相同的角的集合
S = {β | β = α + k*360°, k∈Z}
终边在 x 轴上的角的集合
S = {α | α = k*180°, k∈Z}
终边在 y 轴上的角的集合
S = {α | α = 90° + k*180°, k∈Z}
弧度制
圆周长 2πr
平均分割 2π 份
一弧度的角：长度为 r 的弧长所对的圆心角 1rad
|α| = l/r rad l是弧长，r 是半径，α是圆心角的弧度
正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，0角的弧度是0
180° = π rad
1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad
1rad = 180° / π ≈ 57.30°
扇形弧长：
l = α R α是圆心角的弧度数，R是半径
扇形面积：
S = 1/2 lR = 1/2 αR^2 l是弧长，R是半径
(看做 1/2 底乘以高)
任意角的三角函数
sinα = y / r
cosα = x / r
tanα = y / x (x ≠ 0)
在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 P(x, y)，那么
sinα = y
cosα = x
tanα = y/x (x≠0
sin^2α + cos^2α = 1
sinα / cosα = tanα (α≠π/2 + kπ, k∈Z)
诱导公式
- 终边相同的角的三角函数值相同：
k ∈ Z
sin(α + k * 2π) = sinα
cos(α + k * 2π) = cosα
tan(α + k * 2π) = tanα
将任意角转换为 0~2π的角
- 角 α 与角 π+α 关于原点对称
sin(π + α) = -sinα
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tanα
将 π~2π的角转换为 0~π的角
- 角 α 与角 -α 关于 x 轴对称
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan(-α) = -tanα
- 角 α 角 π-α 关于 y 轴对称
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
tan(π-α) = -tanα
将钝角转换为锐角
规律：
2kπ+α，-α，π+α，π-α 的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面的符号是将α看做锐角时，原函数值的符号
- α 与 π/2-α 关于 y=x 对称，α为任意角，对称点坐标 (x,y) (y,x)
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
广义的互余，两个角之和为 90° (π/2)，那么这俩角互余
- α 与 π/2+α
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
总结：
sin(α + 2kπ) = sinα
cos(α + 2kπ) = cosα
tan(α + 2kπ) = tanα
sin(π + α) = -sinα
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tanα
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan(-α) = -tanα
sin(π - α) = sinα
cos(π - α) = -cosα
tan(π - α) = -tanα
sin(π/2 - α) = cosα
cos(π/2 - α) = sinα
sin(π/2 + α) = cosα
cos(π/2 + α) = -sinα
统一为: kπ/2 ± α (k∈Z)
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin(3π/2 + α) = -cos(α)
正弦函数 余弦函数的图像
先画出 y = sin(x) 在 [0, 2π] 之间的图像
由 sin(x) = sin(x-2π) 可将 [0, 2π] 之间的图像向右平移 2π
由 sin(x) = sin(x+2π) 可将 [0, 2π] 之间的图像向左平移 2π
由 cos(x) = sin(x+π/2) 可将 sin(x)的图像向左平移 π/2，即可得到 y=cos(x) 的图像
五点法作图
正余弦函数的周期性
1.周期函数的周期最小正周期
2.求函数周期的方法：
定义法：f(x+T) = f(x) (T≠0)，对定义域内的任意实数x 都有效
图像法
公式法：函数 y = Asin(ωx + φ) 和 y=Acos(ωx + φ)，x∈R (A≠0，ω≠0) 的最小正周期：T=2π/|ω|
y = 3cos(2x) T=2π/2 = π
y = sin(1/2 x + π/6) T=2π/(1/2) = 4π
正余弦函数的奇偶性
奇偶性的判定：
图像法：是关于原点对称还是关于 y 轴对称
定义法：定义域必须关于原点对称，f(-x)=f(x) 偶函数 f(-x)=-f(x) 奇函数
正弦函数是奇函数 y=sinx
余弦函数是偶函数 y=cosx
正余弦函数的单调性
y=sinx
递增 [-π/2, π/2]=>-π/2+2kπ, π/2+2kπ
递减 [π/2, 3π/2]=>π/2+2kπ, 3π/2+2kπ
正切函数
y = tanx (x≠π/2+kπ, k∈Z) x角的终边不能落在 y 轴上
最小正周期 π
两角差的余弦公式
两点间距离公式：
两点间的距离等于横坐标减横坐标的平方 加上纵坐标减纵坐标的平方，再开根号
点 A(x1, y1) 点 B(x2, y2)
√(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
记作 C(α - β)
cos(α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ
cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ
sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ
sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)
tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα * tanβ)
sin2α = 2sinα*cosα
cos2α = cos^2α - sin^2α
= 2cos^2α - 1
= 1 - 2sin^2α
tan2α = 2tanα / (1 - tan^2α)
半角公式
sin(α/2) =
cos(α/2) =
tan(α/2) =
积化和差
和差化积
正弦函数的图形变换
函数 y = Asin(ωx + φ)，（其中 A>0, ω>0）
振幅：A 振动时离开平衡位置的最大距离
周期： T = 2π / ω 往返一次所需要的时间
频率：f = 1/T = ω/2π 单位时间往返振动的次数
相位：ωx + φ
初相：φ，x = 0的时候的相位
A 纵向拉伸 A>1 伸长 0<A<1 缩短
ω 横向拉伸 ω>1 缩短 0<ω<1 伸长
φ 左右平移，左加右减
函数 y=sin(ωx + φ) 的图像看作把 y=sinωx 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 |φ/ω| 个单位
y = sin(2x-π/3) = sin[2(x-π/6)] 相当于
y = sin(2x) 向右平移 π/6
如何由 y=sinx 的图像得到 y=2sin(1/3 x - π/6)
方法一：先平移后伸缩
向右平移 π/6，得到 y=sin(x-π/6)
左右伸长3倍，得到 y=sin(1/3 x - π/6)
上下伸长2倍，得到 y=2sin(1/3 x - π/6)
方法二：先伸缩后平移
横坐标伸长3倍 y=sin(1/3 x)
向右平移 π/2 y=sin[1/3 * (x-π/2)] = sin(1/3 x - π/6)
纵坐标伸长2倍 y=2sin(1/3 x - π/6)
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