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凸优化之Convex set概念

凸优化之Convex set概念

作者: 十年磨剑_莫回首 | 来源:发表于2021-12-21 21:44 被阅读0次

凸集合

今天，定义一下凸集合（convex set）C：

假设凸集合C： C  \subseteq  R^{n}, 有两个向量 x,y \inC,

使得 tx+(1-t)y \in C 对于 \forall  t \in [0,1] 恒成立。

用图示的方法表示就是： 第一个是凸集合，第二个不是凸集合。

convex set convex hull

凸集合的常见例子：

1  空集，一个点，一条线

2 Norm ball:          \{ x :||x||\leq r \} 对于给定的 norm ||\cdot ||, 半径是 r 

证明如下：

let \ x_{1} \ and \ x_{2} \in A=\{x:||x||\leq r\}, then \ \forall \theta \in [0,1], we \ could \ conclude \ that \\\ ||\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2}||\leq\theta||x_{1}||+(1-\theta)||x_{2}||\leq \theta r + (1-\theta)r=r, so \ A \ is \ convex

3  Hyperplane: 

\{ x: a^{T}x=b \}, for \ given \ a \ and \ b

4 Halfspace: 

\{x : a^{T}x \leq b \}

5 Affine space:

\{ x : Ax =b \}, for \ given \ A, \ b

6 Polyhedron:

\{ x : Ax \leq b \} \ or \ \{ x: Ax \leq b, Cx=d \}

Cone set

凸集合的几个重要性质：

凸函数概念

对于保留凸函数和凸集合的操作，这块就不继续展开了，大家如果对这些兴趣，欢迎阅读：

Boyd 的《convex optimization》

Rockafellar 的《convex analysis》

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      本文标题：凸优化之Convex set概念

      本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/nqcxqrtx.html

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