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自然常数e

自然常数e

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2020-11-06 14:26 被阅读0次

\int_{1}^{x}\! x^{\beta }dx=\frac{1}{\beta +1}x^{\beta +1}-\frac{1}{\beta +1}=\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}

\beta=-1时分母为零,不可求,也就是说无法使用定积分直接求出反比例函数下的面积。那就转换思路,让\beta趋近于-1,让面积为一个定值y,求出x。

\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}=y

当y=1时,求得x刚好等于一个常数e
当y为一般数时,求得:x=e^{y} (指数函数—"某个数的几次方"关系的函数)

互逆表达:x=e^{y} (指数函数) 转换为 y=log_{e}x(对数函数)


最后,当\beta趋向于-1时,可得

\int_{1}^{x}\! x^{\beta }dx=\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}log_{e}x

\beta等于-1时,可得

\int_{1}^{x}\! x^{\ -1}dx=log_{e}x

e的图形意义
参考

简单微积分-神永正博

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