1.1 概念回顾

1.1.1 数据结构

概述

数据结构是计算机存储,组织数据的方式.数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合.通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率.

划分

从关注的维度看,数据结构可以划分为数据的逻辑结构和物理结构,同一逻辑结构可以对应不同的存储结构.
逻辑结构反应的是数据元素之间的逻辑关系,逻辑关系是指数据元素之间以什么形式互相关联,这与他们在计算机中的存储位置无关.逻辑结构包括:

1. 集合:只是扎堆凑在一起,没有互相之间的关联
2. 线性结构:一对一关联,队形
3. 属性结构:一对多关联,树形
4. 图形结构:多对多关联,网状  

数据物理结构指的是逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式(也称为存储结构).一般来说,一种数据结构的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构,常用的存储结构有顺序存储,链式存储,索引存储和哈希存储等.

1. 顺序存储:用一组地址连续的存储单元依次存储集合的各个数据元素,可随机存取,但增删需要大批移动
2. 链式存储:不要求连续,每个节点都由数据域和指针域组成,占据额外空间,增删快,查找慢需要遍历
3. 索引存储:除建立存储节点信息外,还建立附加的索引表来标识节点的地址.检索快,空间占用打
4. 哈希索引:将数据元素的存储位置与关键码之间建立确定对应关系,检索快,存在映射函数碰撞问题

程序中常见的数据结构

1.数组: array 连续存储,线性结构,可根据偏移量随机读取,扩容困难
2.栈: stack 线性存储,只允许一点操作,先进后出,类似水桶
3.队列: queue 类似栈,可以双端操作,先进先出,类似水管
4.链表: linkedlist 链式存储,配备前后节点的指针,可以是双向的
5.树: tree 典型的非线性结构,从唯一的根节点开始,子节点单项执行前驱(父节点)
6.图: graph 另一种非线性结构,由节点和关系组成,没有根的概念,互相之间存在关联
7.堆: heap 特殊的树,特点是根节点的值是所有节点中最小的或者最大的,且子树也是堆
8.散列表: hash 源自于散列函数,将值做一个函数式映射,映射的输出作为存储的地址

1.1.2 算法

算法指的是基于存储结构下,对数据如何有效的操作,采用什么方式可以更有效的处理数据,提高数据运行效率.数据的运算是定义在数据的逻辑结构上,但运算的具体实现要在存储结构上进行.一般设计的操作有以下几种

1.检索:在数据结构里查找满足一定条件的节点
2.插入:往数据结构中增加新的节点,一般有一点位置上的要求
3.删除:把指定的节点从数据结构中去掉,本身可能隐含有检索的需求
4.更新:改变指定节点的一个或者多个字段的值,同样隐含检索
5.排序:把节点里的数据,按某种指定的顺序重新排序,例如递增或递减

1.2 复杂度

1.2.1 时间复杂度

简单理解,为了某种运算而花费的时间,使用大写O表示.一般来说,时间是一个不太容易计量的维度,而为了计算时间复杂度,通常会估计算法的操作单元数量,而假定每个单元运行的时间都是相同的.因此,总运行时间和算法的操作单元数量一般来讲成正比,最多相差一个常亮系数.一般来讲,常见的时间复杂度有以下几种:
1.常数阶:时间与数据规模无关,如交换两个变量值

int i=1,j=2,k
k=i;i=j;j=k;

2.线性阶:时间和数据规模呈线性,可以理解为n的1次方,如单循环里的操作

for(i=1;i<=n;i++){
  do();
}

3.k次方阶:执行次数是数量的k次方,如多重循环,以下为2次方阶实例

for(i=1;i<=n;i++){
  for(j=1;j<=n;j++){
    do();
  }
}

4.指数阶:随着n的上升,运算次数呈指数增长

for(i=1;i<=2^n;i++){
  do();
}

5.对数阶:执行次数呈对数缩减,如下

for(i=1;i<=n;){
  i=2^i
  do();
}

6.线性对数阶:在对数阶的基础上,进行线性n倍乘积

for(i=1;i<=2^n;i++){
  for(j=1;j<=n;j++){
    do();
  }
}

1.2.2 空间复杂度

与时间复杂度类似,空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的度量.一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令 常数 变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的辅助空间.而空间复杂度主要指的是这部分空间的量级

• 固定空间:主要包括指令空间 常量 简单变量等所占的空间 这部分空间的大小与运算的数据多少无关,属于静态空间
• 可变空间:主要包括运行期间动态分配的临时空间,以及递归栈所需的空间等.这部分的空间大小与算法有很大关系

同样,空间复杂度也用大写O表示,相比时间复杂度场景相对简单,常见级别为和

1.2.3 类比

对于一个算法,其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的.时间复杂度低可能借助占用大的存储空间来弥补,反之,某个算法所占据的空间小,那可能就需要占用更多的运算时间.两者往往需要达到一种权衡
在特定环境下的业务,还需要综合考虑算法的各项性能,如使用频率 数据量的大小 所用的开发语言 运行的机器系统等.两者兼顾权衡利弊才能设计出最适合当前场景的算法

1.3 算法思想

1.3.1 分而治之

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子分体分成更小的子问题,直到最后子问题小到可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并.这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅里叶变换,大数据的MR
分治法对问题有一定的要求:

• 该问题缩小到一定程度后,就可以轻松解决
• 问题具有可拆解性,不是一团无法拆分的乱麻
• 拆解后的答案具有可合并行,能组装成最终结果
• 拆解的子问题要相互独立,互相之间不存在或者很少有依赖关系

1.3.2 动态规划

基本思想与分治法蕾西,也是将待求解的问题分解为若干个子问题,按照顺序求解子问题,前一子问题的解,为后一个子问题的求解提供了有用的信息.在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能打到最优的局部解,丢弃其他.依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解
与分治法最大的不同在于,分治法的思想是并发,动态规划的思想是分布.该方法经分解后得到的子问题往往不是互相独立的,其下一个子问题的求解往往是建立在上一个子问题的解的基础上.动态规划算法同样有一定的适用性场景要求:

• 最优化解:拆解后的子问题具备最优化解,且该最优化解与追踪答案方向一致
• 流程向前,无后效性:上一问题的解决方案一旦确定,状态就确定,只会影响下一步,而不会反向影响
• 阶段关联:上下阶段不是独立的,上一阶段会对下一阶段的行动提供决策性指导,这不是必须的,但是如果具备该特性,动态规划算法的意义才能更大的得到体现

1.3.3 贪心算法

同样对问题要求做出拆解,但是每一步,以当前局部为目标,求得该局部的最优解.那么最终问题解决时,得到完整的最优解.也就是说,在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择,而不是从整体最优上加以考虑.从这一角度讲,该算法具有一定的场景局限性

• 要求问题可拆解,并且拆解后每一步的状态无后效性(与动态规划算法类似)
• 要求问题每一步的局部最优,与整体最优解方向一致.至少会导向正确的主方向

1.3.4 回溯算法

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程.在每一步的问题下,列举可能的解决方式.选择某个方案往深度探究,寻找问题的解,当发现已经不满足求解条件,或深度达到一定数量时,就返回,尝试别的路径.回溯法一般适用于比较复杂的,规模较大的问题.有"通用解题法"之称

• 问题的解决方案具备可列举性,数量有限
• 界定回溯点的深度.达到一定程度后,折返

1.3.5 分支界限

与回溯法类似,也是一种在空间上枚举寻找最优解的方式.但是回溯法策略为深度优先.分支法为广度优先.分支法一般找到所有相邻节点,先采取淘汰策略,抛弃不满足约束条件的节点,其余节点加入活节点表.然后从存活表中选择一个节点作为下一个操作对象