Laplacian 拉普拉斯边检测器

引自：
https://www.cnblogs.com/german-iris/p/4840647.html
https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90/7261323?fr=aladdin

拉普拉斯算子 Laplace Operation

定义：

拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad（▽f）的散度div（▽·f）。

因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
f的拉普拉斯算子也是笛卡尔坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：

作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥2时成立。算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω时成立。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹 ：
另外，满足▽·▽f=0 的函数f, 称为调和函数。

表示式：

二维空间：
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡尔坐标：

另外极坐标的表示法为：
三维空间：
笛卡尔坐标系下的表示法：
圆柱坐标系下的表示法：
球坐标系下的表示法：
N 维空间
在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为： 其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。

离散函数导数：差分公式

离散函数的导数退化成了差分，一维一阶差分公式和二阶差分公式分别为：

Laplace算子的差分形式：

分别对Laplace算子x,y两个方向的二阶导数进行差分就得到了离散函数的Laplace算子。

在一个二维函数f(x,y)中，x,y两个方向的二阶差分分别为： 所以Laplace算子的差分形式为： 写成filter mask的形式如下： 注意该mask的特点，mask在上下左右四个90度的方向上结果相同，也就是说在90度方向上无方向性。为了让该mask在45度的方向上也具有该性质，对该filter mask进行扩展定义为，

有时我们也会见到不同于上述结果的Laplace算子的filter mask：
其原因是在定义二阶导数的时候采用了相反的定义，这个无关紧要，但是要注意，当用Laplace算子滤波后的图像与原图叠加时，混合操作是加还是减因上述的定义而异。

图像的Laplace操作：

如同本文开始时说的那样，将Laplace算子写成filter mask后，其操作大同小异于其他的空间滤波操作。将filter mask在原图上逐行移动，然后mask中数值与其重合的像素相乘后求和，赋给与mask中心重合的像素，对图像的第一，和最后的行和列无法做上述操作的像素赋值零，就得到了拉普拉斯操作结果。

拉普拉斯操作结果与原图的混合：

因为Laplace算子是二阶导数操作，其在强调图像素中灰度不连续的部分的同时也不在强调灰度值连续的部分。这样会产生一个具有很明显的灰度边界，但是没有足够特征的黑色背景。背景特征可以通过原图像与Laplace算子操作后的图像混合恢复。用公式：

其中的参数c的取值和上面的两种mask定义有关，当mask中心的数值取正时c=-1，相反c=1;