浅谈区间动态规划

围绕几道题说起。。石子归并、涂色、括号序列

啥是区间动态规划呢，我觉得似乎是指在一段区间上的dp，通过枚举左右子区间来求出解。

那么问题来了，如何去枚举左右子区间呢？

一般来说都是循环一个变量len，表示区间长度，然后循环左区间从开始到结尾，一般来说是1～n。

对于区间dp的话，我大致理解就是先求出小区间（部分）最优解，然后一个又一个小区间合并成稍微大点的大区间，最后合成答案——即总区间。

所以代码就这玩意：

for(int len=1;len<=n;len++)
{
    for(int l=1,r;(r=l+len)<=n;l++)
    {
        //do something
        for(int k=l;k<r;k++)
        {
            //update dp array,such as'min(dp[l][r],dp[l][i]+dp[i+1][r])'
        }
    }
}

所以就是这样咯，循环一个长度，然后枚举区间。

区间的话一定要注意是l<=k<r，不然的话[i+1][r]直接6了。。。

好像。。。区间dp就这些内容了吧，哦对了还有平行四边形优化！

普通的区间dp的时间复杂度大约是O(n^3)，从三个嵌套的for就能看出来。

不过有一些区间dp可以优化成O(n^2)，要用一个叫做“四边形不等式”的东西进行优化。

大致思想就是保存枚举的k中最优子区间，每次可以将枚举k时的时间复杂度去掉，所以就只剩下了长度与左区间的枚举。

四边形不等式优化

下面就是三道入门题。。。

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//石子归并
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
char in[1000];
int dp[1000][1000],n,w[1000],sum[1000];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&w[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];//由于合并的是一个区间，所以记录一下前缀和
    }
    for(int len=1;len<=n;len++)//循环长度
    {
        for(int l=1,r;(r=l+len)<=n;l++)
        {
            dp[l][r]=0x3fffffff;//初始化为INF
            for(int i=l;i<r;i++)//枚举中点
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][i]+dp[i+1][r]+sum[r]-sum[l-1]);//判断区间l,r分割成两个小区间后是否更优
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);//答案
}

---

//bzoj1260涂色
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
char in[1000];
int dp[1000][1000];
int main()
{
    scanf("%s",in+1);//方便下面dp
    int n=strlen(in+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=i==j?1:0x3fffffff;//对于一个点的涂色次数，只能是1次
    for(int len=1;len<=n;len++)//循环长度
    {
        for(int l=1,r;(r=l+len)<=n;l++)//生成左右区间
        {
            if(in[l]==in[r])//如果相等那么就可以如下这么转移咯
            {
                if(len==1)dp[l][r]=1;//如果区间长度为1，也就是说l,r是相邻的两个格子，所以只能一笔涂上
                else dp[l][r]=min(dp[l+1][r-1]+1,min(dp[l][r-1],dp[l+1][r]));
                /*
                    否则的话说明可以从区间l,r中进行转移。
                    判断dp[l][r]所包含的三个子区间
                    然后就是dp[l+1][r]跟dp[l][r-1]了。
                    先把最右端/最左端为起点一笔涂到另一头，应该是这意思吧？
                */
            }
            else//否则的话只能将区间l,r分割成两个小区间然后min咯
                for(int i=l;i<r;i++)
                    dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][i]+dp[i+1][r]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);//答案
}

---

//tyvj P1193 括号序列
/*
    至于为什么这个dp是对的，小谈一下我的个人理解。
    由于区间长度len是从小到的枚举的，所以每一轮都是从很小的单位区间开始更新，似乎可以看作bfs（雾）？
    因为len是由小到大进行枚举，所以每一次min的时候都是从将已经判断好的子区间进行min。
    或许用滚雪球形容会好点？从一个小区间慢慢滚成了一个大区间？
    以上就是我对于初级区间dp的理解。。。
*/
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
char in[1000];
int dp[1000][1000],n;
bool test(char a,char b)//判断a,b是否匹配
{
    if(a=='(')return b==')';
    if(a=='[')return b==']';
    if(a=='<')return b=='>';
    if(a=='{')return b=='}';
    return 0;
}
int main()
{
    /*
        dp[i][i]=1 若是单个括号的话只能是添加所对应的括号完成匹配，所以为1
        dp[l][r]:区间l,r的最小添加括号数量
        dp[l][r]=min{n,dp[l+1][r-1](match(s[l],s[r]),dp[l][k]+dp[k+1][r]|l<=k<r}
    */
    gets(in+1);//为了能够顺手的写代码，所以下标从1开始
    n=strlen(in+1);
    while(in[n]=='\n'||in[n]=='\r')n--;
    //不知道为啥gets会莫名其妙的读入一个换行/回车，所以第一次就WA了。。。所以加上这个while判一下是否有换行，不过似乎最多就循环一次？
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][i]=1;
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int l=1,r;(r=l+len)<=n;l++)
        {
            dp[l][r]=r-l+1;//边界，对于区间l,r一共有r-l+1个括号，所以最坏情况下需要添加r-l+1个括号，不过似乎写成n也能A掉？好吧写成dp[l][r]=n会快点。。。毕竟避免了加减法运算
            if(test(in[l],in[r]))//如果左右两端匹配，那么就可以进行一次转移
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l+1][r-1]);//如果当前区间左右都是匹配的括号的话，状态转移为dp[l+1][r-1]，也就是说转移到去掉括号后的序列
            for(int i=l;i<r;i++)//枚举区间l,r中的所有区间
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][i]+dp[i+1][r]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);//最后的结果就是dp[1][n]
}