数学是一门赋予不同事物相同名称的艺术。 ——昂利.庞加莱

基

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如果我们在二维空间中有一个向量，我们就有一种用坐标表示它的标准方法，在这种情况下，这个向量的坐标为 (3, 2) ，也就意味着从它的起点到尖端，需要向右移动3个单位，并向上移动2个单位。现在以更加线性代数的方法来描述坐标，是将这些数看做拉伸或压缩向量的标量，你将第一个坐标看作缩放i帽的标量，i帽就是指向右方且长度为1的向量，第二个坐标看作缩放j帽的标量，j帽就是指向正上方且长度为1的向量，这两个经过缩放的向量的和就是坐标所要描述的向量。

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你可以把这两个特殊的向量看作封装于我们这个坐标系中的隐含假设，第一个数字表示向右的运动，第二个数字表示向上的运动，它们的长度就是各自维度的单位长度。上面所有的事实都与i帽和j帽的选取有着密切联系，因为这两个向量正是标量缩放的对象。发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系，而其中两个特殊的向量-i帽和j帽，被称为我们这个标准坐标系的基向量。

基变换

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比如说你有一个朋友-詹妮弗，她使用着一组不同的基向量，我们将其称为 和 ， 指向右上方， 指向左上方；

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现在再看看之前我所展示的向量，也就是以i帽和j帽为基向量描述的坐标为 (3, 2) 向量。但是詹妮弗就不一样了，她会用坐标 (5/3, 1/3) 来描述它，这意味着根据她的两个基向量，获得那个向量的方法是b1乘以5/3，b2乘以1/3，再将两个结果相加，很快我就会向你展示如何计算出这两个数（5/3 , 1/3）。这里我们需要明确的是，无论詹妮弗何时用坐标来描述一个向量，她将第一个坐标乘以b1，第二个坐标乘以b2，然后将结果相加；最终她得到的向量和我们之前使用i帽和j帽为基向量描述的向量完全不同。

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这里之所以会有这种区别，主要在于视角的不同导致的。站在我们的角度，对于它的第一个基向量b1，我们会用坐标 (2, 1) 来描述；对于它的第二个基向量b2，我们会用坐标 (-1, 1) 来描述。

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但是站在詹妮弗的角度，在她的坐标系中这两个向量的坐标为 (1, 0) 和 (0, 1) 。所以说我们实际上在说着不同的语言，我们都在关注空间中的同一个向量，但是詹妮弗用不同的语言和数字来描述它。

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如何在不同坐标系之间进行转换呢？比如说詹妮弗用坐标 (-1, 2) 描述一个向量，那么这个向量在我们的坐标系中如何描述？如何从她的语言转化到我们的语言呢？

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站在詹妮弗的角度，这个向量是-1乘以b1加上2乘以b2；从我们的角度来看，b1的坐标为(2, 1)，b2的坐标为(-1, 1)，所以实际上，我们可以直接计算-1乘以b1加上2乘以b2，因为它们都是在我们的坐标系表示的，计算之后你得到了一个坐标为(-4, 1)的向量。
这里发生的过程，也就是用某个向量的特定坐标与它的基向量数乘，然后将结果相加，看起来是不是很眼熟，没错，这就是矩阵向量乘法。这个矩阵的列代表的是用我们的语言表达的詹妮弗的基向量。

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矩阵向量乘法的本质是一个特定线性变换，利用这个特质，就会有一种非常直观的方法来考虑这里发生的事，一个矩阵的列为詹妮弗的基向量，这个矩阵可以看做一个线性变换，它将我们的i帽和j帽，也就是我们眼中的(1, 0)和 (0, 1)，变换为詹妮弗的基向量，也就是她眼中的(1, 0)和 (0, 1)。我们来看看对我们所想的向量 (-1, 2) 应用变换是什么意思，在线性变换前，我们所想的向量是我们的基向量的一种特定线性组合，-1乘以i帽机上2乘以j帽，而线性变换的一个重要特性在于，变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量，-1乘以变换后的i帽机上2乘以变换后的j帽。得到我们的结果(-4, 1)，注意这个(-4, 1)是我们的视角，而我们的视角是以变换前的i帽和j帽为基向量的坐标系。站在詹妮弗的角度，这个向量永远是 (-1, 2) 。

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回到我们一开始的例子，在我们的坐标系中，有一个坐标为(3, -2) 的向量，如何计算出它在詹妮弗坐标系中的坐标呢？这个问题就要解决，我们的基向量（i帽和j帽）在詹妮弗的坐标系是什么样的，那就将詹妮弗的基向量做线性变换后变成i帽和j帽，这就是我们刚才那个矩阵的逆，（在实践中，你可以用计算机来求解一个矩阵的逆）。

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将这个逆变换应用于(3, -2) ，就得到了詹妮弗眼中该向量的坐标。以上就是如何在坐标系之间对单个向量的描述进行相互转换。

深度理解

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考虑某些线性变换，比如逆时针旋转90度，i帽在变换后处于坐标(0, 1)，j帽在变换后处于坐标(-1, 0)，这些坐标也就成了矩阵的列，但是这种表示与我们对基向量的选择密切相关，因为我们跟踪的是i帽和j帽，并且我们是在我们自己的坐标系中记录它们的去向。但是詹妮弗如何描述同样的空间90度旋转呢？

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詹妮弗需要找到变换矩阵代表她的基向量的去向，并且是用她的语言描述的。直接找的话，有点困难，我们一般这么去解决：先从我们的角度看詹妮弗的基向量，然后再以我们的视角旋转90度，最后再还原詹妮弗的视角。

总的来说，每当你看到这样一个表达式A逆乘以M乘以A，这就暗示着一种数学上的转移作用，中间的矩阵代表一种你所见的变换，而外侧两个矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转化，矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看。