一道题——从右脑到左脑

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问题：求图中小正方形的面积

已知两大圆直径为2，圆心分别在另一个圆边上，求图中正方形面积。我的描述不严谨，但理解这题应该足够了。

解这种几何题我们最喜欢找到一些神奇的辅助线，然后根据几个朴素的几何特性就求出答案，这种解题过程当然是最爽最有观赏性的。但像这种题找到合适的辅助线不是那么直观的，但最后我还是找到了。

写这篇题解最重要的目的不是给出最优雅的解法，而是这道题我寻找辅助线的过程。这个过程并不是由灵感决定的，而是一步一步由逻辑反推出来的，所以这种能摆脱灵感的作用而找到最佳解的过程在我看在是更加可贵的。

其实这题我们从一些基本的几何特性出发，一点一点化归到求解正方形边长。这是一个很可靠的方法，因为原本这道题就不是难题。转化成的三角形关系如下所示：

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我们的目标就是求正方形边长BC。BCD是一个等腰直角三角形,AD是BC的中垂线，容易知道AO长1/2。假设BC长2x，根据这个三角形里边的勾股定理得出以下关系:
(1/2 + x)^2 + x^2 = 1,最终求得边长为(根号7 - 1)/2，面积就是2 - （根号7/2）。

其实这种解法挺好得，清晰可靠。但是数学强迫症来说，这是真的不好看。大量得代数方程、大量得根号让整个过程缺少美感，没有那种“刚刚好”的冲击感。我想找到完全只通过几何特性就能求解的方法。