矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形

作者: 明天过后_002b | 来源:发表于2019-05-18 17:46 被阅读0次

矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形
高等代数理论基础52：Jordan标准形介绍
高等代数理论基础80：若尔当标准形的几何理论(3)
高等代数理论基础78：若尔当标准形的几何理论(1)
常系数线性方程组-重特征根情形结论
高等代数理论基础59：若尔当标准形的理论推导
矩阵基础9-矩阵分解
矩阵分析 (三) 矩阵的标准形
Jordan标准形与sympy
python计算Jordan标准形

$\lambda-$ 阵

元素为 $\lambda$ 的多项式的矩阵矩阵称为 $\lambda-$ 阵，记为 $A(\lambda)$ 。
例如，数字方阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E-A$ 就是一个 $\lambda-$ 阵；一个 $\lambda-$ 阵中所含多项式的最高次幂称为 $\lambda-$ 阵的次数。如果 $A(\lambda)$ 的次数为 $m$ ，则 $A(\lambda)$ 可表示为
$A(\lambda)=A_0\lambda^m+A_1\lambda^{m-1}+\cdots+A_{m-1}\lambda+A_m ，$
其中， $A_i(i=0,1,\cdots,m)$ 为数字矩阵，且 $A_0\neq O.$

等价标准形

任意一个秩为 $r$ 的 $m\times n$ 阶 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 都等价于一个分块 $\lambda-$ 阵，即
$A(\lambda) \cong\begin{pmatrix} D(\lambda) & O \\ O & O \end{pmatrix},$
其中， $D(\lambda)=diag\lbrace d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_r(\lambda) \rbrace,d_i(\lambda)$ 是首项系数为1的 $\lambda$ 多项式，且 $d_i(\lambda)\mid d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r$ ，并称该分块 $\lambda-$ 阵为 $A(\lambda)$ 的等价标准形，记作 $I_r(\lambda)$ 。

行列式因子

设 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 的秩为 $r$ ，显然 $A(\lambda)$ 中任一 $i(1\leq i \leq r)$ 阶子式也是 $\lambda$ 的多项式。 $A(\lambda)$ 的所有 $i$ 阶子式的首项系数为1的最大公因式称为 $A(\lambda)$ 的第 $i$ 阶行列式因子，记作 $D_i(\lambda)$ 。

不变因子

设 $D_k(\lambda)$ 为 $\lambda-$ 阵 $A(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式因子 $(1\leq k \leq r)$ ，则称
$d_k(\lambda)=D_k(\lambda) / D_{k-1}(\lambda), (1 \leq k \leq r)$
为 $A(\lambda)$ 的第 $k$ 个不变因子。其中 $D_0(\lambda)=1$ 。

初等因子组

假定所讨论的问题都是在复数域 $C$ 中进行，这是任一多项式均可分解为一次因式方幂的积。设 $A(\lambda)$ 的各个不变因子分解如下：
$d_1(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{11}} (\lambda - a_2) ^ {l_{12}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{1s}} ，\\ d_2(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{21}} (\lambda - a_2) ^ {l_{22}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{2s}}， \\ \cdots \cdots \\ d_r(\lambda) = (\lambda - a_1) ^ {l_{r1}} (\lambda - a_2) ^ {l_{r2}} \cdot \cdots \cdot (\lambda - a_s) ^ {l_{rs}}，$
式中， $a_1,a_2,\cdots,a_s$ 是互不相等的复数， $l_{ij}$ 是非负整数。因为 $d_k(\lambda) \mid d_{k+1}(\lambda)$ ，可知上述分解式的指数有如下关系：
$0 \leq l_{1j} \leq l_{2j} \leq \cdots \leq l_{rj} (j=1,2,\cdots,s).$
称上述指数 $l_{ij}>0$ 的因式 $(\lambda - a_j) ^ {l_{ij}}$ 为 $A(\lambda)$ 的初等因子。在计算 $A(\lambda)$ 的初等因子的个数时，要把重复的包括在内。 $A(\lambda)$ 的全部初等因子称为 $A(\lambda)$ 的初等因子组。

若当(Jordan)块和若当矩阵

易知 $m_i$ 阶方阵 $J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i}$ 的特征矩阵 $\lambda E_{m_i}-J_i$ 的初等因子只有一个 $(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$ ，称 $J_i$ 为若当(Jordan)块，称矩阵 $J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace$ 为若当矩阵。

$\lambda E-J$ 的初等因子组是：
$(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.\tag1$
这样，若一个数字矩阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E - A$ 的初等因子组也是 $(1)$ 式时，即可知 $A\sim J$ .以上叙述可归纳为以下定理：

定理：若 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E-A$ 的初等因子组是 $(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}$ ,则有
$A\sim J=diag\lbrace J_1,J_2,\cdots,J_s\rbrace,$
式中 $m_i=1$ 时， $J_i=\lambda_i$ ，

$m_i>1$ 时， $J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{m_i\times m_i}$

如果不计若当矩阵 $J$ 中若当块的排列次序，则若当矩阵 $J$ 由矩阵 $A$ 唯一确定，称 $J$ 为 $A$ 的若当标准形。

例1：求矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4\end{bmatrix}$ 的若当标准形。

解： $\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-1 & 1 & -2 \\ -3 & \lambda+3 & -6 \\ -2 & 2 & \lambda-4\end{bmatrix}$ ,令 $\mid\lambda E-A\mid=0$ 得 $\lambda=0,0,2.$

对于 $\lambda=0, r(\lambda E - A) = 1$ ，零空间维数 $dim N_0 = 2$ ，故有两个若当块；

对于 $\lambda=2, r(\lambda E - A) = 2$ ，零空间维数 $dim N_0 = 1$ ，故有一个若当块；

综上， $A\sim J = \begin{bmatrix}0\\&0\\&&2\end{bmatrix}$

例2：设 $A=\begin{bmatrix}17 & 0 & -25\\ 0 & 3 & 0\\ 9 & 0 & -13\end{bmatrix}$ ，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为 $A$ 的若当标准形。

解：
$\lambda E-A=\begin{bmatrix} \lambda-17 & 0 & 25 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ -9 & 0 & \lambda+13 \end{bmatrix}$
令 $\mid\lambda E-A\mid=0$ ，得 $\lambda=2,2,3$ .

对于 $\lambda=2,r(\lambda E-A)=2$ ，零空间维数为1，故有1个若当块；

对于 $\lambda=3,r(\lambda E-A)=2$ ，零空间维数为1，故有1个若当块；

综上，共有两个若当块，故 $A\sim J=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$ ，

设可逆阵 $P=[x_1,x_2,x_3]$ ，使得 $P^{-1}AP=J$ ，即 $AP=PJ$ ，则有
$A(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
即 $(Ax_1,Ax_2,Ax_3) = (3x_1,2x_2,x_2+2x_3)$
$\Longrightarrow\begin{cases} (3E-A)x_1=0 \\ (2E-A)x_2=0 \\ (2E-A)x_3=-x_2 \end{cases}$
解齐次线性方程组 $(3E-A)x_1=0得x_1=[0,1,0]^T$ ,

解齐次线性方程组 $(2E-A)x_2=0得x_2=[5,0,3]^T$ .

由非齐次线性方程组 $(2E-A)x_3=-x_2得x_3=[2,0,1]^T$ ，

故
$P=(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}, 使得P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形
阵元素为的多项式的矩阵矩阵称为阵，记为。例如，数字方阵的特征矩阵就是一个阵；一个阵中所含多项式的最高次幂称为阵的...
高等代数理论基础52：Jordan标准形介绍
Jordan标准形介绍若尔当块定义：形式为的矩阵称为一个若尔当块,其中是复数由若干个若尔当块组成的准对角矩...
高等代数理论基础80：若尔当标准形的几何理论(3)
若尔当标准形的几何理论(3) 易知复方阵的若尔当标准形的存在与唯一性给定复方阵B,找矩阵使称为若尔当标准形等同...
高等代数理论基础78：若尔当标准形的几何理论(1)
若尔当标准形的几何理论(1) 找一组基使线性变换在这组基下的矩阵称为若尔当标准形定义：对于线性空间V中的线性变换...
常系数线性方程组-重特征根情形结论
重特征根情形结论假设矩阵有互异的特征根，其重数分别为且 . 在的 Jordan 标准形中，特征根 ...
高等代数理论基础59：若尔当标准形的理论推导
若尔当标准形的理论推导若尔当块的初等因子若尔当块的初等因子为特征矩阵显然即的n级行列式因子由有一个n...
矩阵基础9-矩阵分解
一. 二次型的条件优化条件优化: 二. 矩阵分解 2.1 谱分解 2.2 Jordan分解 Jordan标准型:...
矩阵分析 (三) 矩阵的标准形
相似变换是矩阵的一种重要的变换，本章研究矩阵在相似变换下的简化问题，这是矩阵理论的基本问题之一。这种分解简介形...
Jordan标准形与sympy
使用python的符号计算库sympy来计算矩阵的标准形 1.求的标准形 1.求的标准形
python计算Jordan标准形
1.程序源码 2.计算结果

矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形

$\lambda-$ 阵

等价标准形

行列式因子

不变因子

初等因子组

若当(Jordan)块和若当矩阵

相关文章

矩阵分析学习笔记（六）-若当(Jordan)标准形

高等代数理论基础52：Jordan标准形介绍

高等代数理论基础80：若尔当标准形的几何理论(3)

高等代数理论基础78：若尔当标准形的几何理论(1)

常系数线性方程组-重特征根情形结论

高等代数理论基础59：若尔当标准形的理论推导

矩阵基础9-矩阵分解

矩阵分析 (三) 矩阵的标准形

Jordan标准形与sympy

python计算Jordan标准形

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读