高等代数理论基础78：若尔当标准形的几何理论(1)

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-29 07:53 被阅读3次

若尔当标准形的几何理论(1)

找一组基使线性变换 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵称为若尔当标准形

定义：对于线性空间V中的线性变换 $\mathscr{A}$ 的多项式 $f(\mathscr{A})$ 及任意向量 $\varepsilon$ ,若有 $f(\mathscr{A})\varepsilon=0$ ,则称 $f(\lambda)$ 是 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的零化多项式,若 $f(\lambda)$ 是 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的零化多项式中次数最低的首一多项式,则称 $f(\lambda)$ 为 $\varepsilon$ 对于 $\mathscr{A}$ 的最小多项式

易证 $\varepsilon$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式整除 $\varepsilon$ 对 $\mathscr{A}$ 的任一零化多项式

引理：对 $\C$ 上有限维空间 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{A}$ ,下列结论等价

1. $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_0,\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{n-1}$ 下的矩阵是若尔当块

$J(\lambda_0,n)=\begin{pmatrix}\lambda_0&0&0&\cdots&0&0&0\\ 1&\lambda_0&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&\lambda_0&0\\ 0&0&0&\cdots&0&1&\lambda_0\end{pmatrix}$

2. $\varepsilon_0$ , $\varepsilon_1=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0$ , $\varepsilon_2=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^2\varepsilon_0$ , $\cdots$ , $\varepsilon_{n-1}=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 是 $V$ 的基且 $(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0=(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_{n-1}=0$

3. $V=P[\mathscr{A}]\varepsilon_0=\{f(\mathscr{A}\varepsilon_0|f(\lambda)\in\C[\lambda]\}$ ,且 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的最小多项式

证明：

$1\Leftrightarrow 2$

由线性变换矩阵的定义,显然成立

$2\Leftrightarrow 3$

必要性

$\forall v\in V$ ,有

$v=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

$=l_0\mathscr{E}+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0\in P[\mathscr{A}]\varepsilon_0$

此时 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的一个零化多项式

设为 $f(\lambda)=l_0+l_1(\lambda-\lambda_0)+\cdots+l_{n-1}(\lambda-\lambda_0)^{n-1}$

由 $f(\mathscr{A})\varepsilon_0=0$

$[l_0\mathscr{E}+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}]\varepsilon_0$

$=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0=0$

但 $\varepsilon_0,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0,\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 是 $V$ 的一组基,线性无关

故 $l_0=l_1=\cdots=l_{n-1}=0$

即 $f(\lambda)=0$

故 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的最小多项式

充分性

首先 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 是 $\varepsilon_0$ 的零化多项式

故 $(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0=0$

$\forall v\in V=P[\mathscr{A}]\varepsilon_0$

有 $f(\lambda)\in P[\lambda],v=f(\mathscr{A})\varepsilon_0$

作带余除法, $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^ng(\lambda)+l_0+l_1(\lambda-\lambda_0)+\cdots+l_{n-1}(\lambda-\lambda_0)^{n-1}$

则有 $f(\mathscr{A})\varepsilon_0=g(\mathscr{A})(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^n\varepsilon_0+l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

$=l_0\varepsilon_0+l_1(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0+\cdots+l_{n-1}(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$

即 $\forall v\in V$ 为 $\varepsilon_0,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})\varepsilon_0,\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_0\mathscr{E})^{n-1}\varepsilon_0$ 的线性组合