Ⅴ·结论·2

其它的数
92节
到目前为止，我们的考虑限于数。现在让我们看看其它种类的数，并且尝试把我们在狭窄范围所认识的东西应用于这更广泛的范围。
为了澄清问一个特定的数的可能性是什么意思，汉克儿说：
“今天，数再也不是一个事物，一个在思维主体之外和推动主体的对象之外独立存在的实体，一条独立的原则，譬如毕达哥拉斯定理中的原则。
因而有关数是否存在的询问，仅仅与思维主体或被思考的对象有关，数不过是体现了它们之间的关系。
严格地说，在数学家看来，不可能的东西仅仅是逻辑上不可能的东西，即自相矛盾的东西。无需证明，绝不允许有这种意义上的不可能的数。但是，如果有关的数是逻辑上可能的，它们的概念得到清晰明确的定义，因而是无矛盾的，那么问数是否存在，可能仅仅是问：在现实领域或直观现实世界领域，即实际事物领域中，是否存在数的基础，是否有一些对象，在它们身上表现出数，因而表现出某种理性关系。”

93节
第一个句子可以令人们产生怀疑，根据汉克儿的思想，数究竟是存在于思维主体中，还是存在于推动主体的对象之中，还是存在于二者之中。在空间的意义上，数无论如何既不在主体之内，又不在主体之外，既不在一个对象之内，又不在一个对象之外。
但是数不是主观的，也许在这种意义上它在主体之外。每个人只能感到自己的痛苦，自己的欲望，自己的饥渴，只能有自己对声音和颜色的感觉，而数却可以是许多人共同的对象，而且数恰恰是所有人相同的对象，而不是不同人的仅仅或多或少相似的内心状态。
当汉克儿想把数是否存在这个问题与思维主体联系起来时，他似乎以此把它变成一个心理学问题，但它绝不是心理学问题。数学不探讨我们的心灵本性，而且对数学来说，如何回答心理学的问题，肯定是完全无关紧要的。

/心理学研究的是心理现象。研究其中的普遍性的东西。但是这种研究有别于逻辑的地方是，弗雷格的思维中的逻辑规律是作为对于主观思维施加的规定性的东西，并以知识或思想的客观性作为这种主观思维活动或心理活动的规定性的设计的目的。就是说，客观的思想通过逻辑规律对于主观思维活动的规定而在主观的思维中实现出来。
我的例子就是通过一只铅笔的涂画拓印一枚硬币。无论我的笔划顺序如何，只要所有的位置都涂画到，最终的画面就是这枚硬币的图案。
那么主观的心理活动有值得研究的地方么？
在绘画而非拓印时，就需要一种有意识地对于对象的审视和觉察。（在拓印时可以是一种无意识地行动。）从而每一笔划总是根据目的有意识地控制行动自身而达成的。就是说，在行动中，主观心理上思维上要具有一种对象意识。如果这种对象意识或对于目的的有意识情况在心理建设上不具备，那么行动就无从作出。所以，就主观的心理活动的规定而言，这种有意识的自觉的理性是需要主体自身施以控制或约束而完成的。如果失去了对象意识，目的意识的自觉，那么行动就变得不可能，难以完成。心理活动体现在这么一种自我规定和控制上。就如同运动中为了完成一种动作而需要对于肢体的敏感和控制。这种控制可能是处于一种不自觉的、无意识的、未经思考的而即时的反应。当然，也有审慎思考的自我规定。

94节
甚至，只有在数学家看来自相矛盾的东西才是不可能的这一说法也必须受到指摘。
即使一个概念的标志包含着矛盾，这个概念也是容许的；只是人们绝不能假定某种东西处于它之下。但是从概念不包含矛盾这一点还不能推论某种东西处于它之下。
···

95节
大概只有证明了某物处于一个概念之下，才能严格地确立这个概念的无矛盾性，反过来则会是错误的。
当汉克儿谈到 x+b=c 这个方程式时，它就陷于这种错误。他说：
“显然，如果b>c，那么在1、2、3、···这个序列中就没有解决该问题的x。在这种情况下，减法是不可能的。然而没有任何东西阻碍我们在这种情况下把（c-b）这个差看作解决该问题的符号，并且用它进行计算，好像它恰恰是1、2、3、···这个序列中的数表明的数一样。”

尽管如此，却有某种东西阻碍我们立刻把（2-3）看作表示该问题的解的符号；因为一个空符号恰恰解决不了这个问题；如果没有内容，她只是纸上的墨迹或印迹，作为这样 的印迹，它有物理的性质，却没有加3得2的性质。这实际上根本不会是符号。把它们当作符号使用在逻辑上会是错的。甚至在c>b这种情况下，这个问题的解也不是（“c-b”）这个符号，而是它的内容。

/符号的内容就是其意谓。

96节
让我们再创造一些允许把离散的序列聚合起来的数！不！即使是数学家，也不能任意创造某种东西，就像地理学家不能任意创造某种东西一样；他只能发现存在什么，并且为它命名。
人们要求，为新引入的数尽可能保留已知的运算规则，并且由此推导出普遍的性质和关系。如果在任何地方都不遇到矛盾，那么新数的引入就被看作合理的。

97节
犯这种错误，原因大概在于没有把概念和对象明确地区别开来。没有任何东西阻碍我们使用“-1的平方根”这个概念；但是我们没有理由为它直接加上定冠词，并把“-1的这个平方根”这个表达式看作是一个有意义的表达式。
假定了i²=-1，我们就可以证明这样的公式，它以a角的正弦和余弦表达出角a的某个倍数的正弦；但是我们不能忘记，这样这个句子就带有i²=-1这种我们不能直接消除的条件。如果根本没有任何东西，它的平方为-1，那么这个方程式就不必根据我们的证明而是正确的，因为i²=-1这种条件从未被满足，而这个方程式的有效性几乎全部依赖这个条件。
结果就好像我们在一个几何学证明中利用了一条根本就不能划出来的辅助线一样。

100节
对于复数普遍性的规定
假定：我们保证所有a+bi 这种形式的符号都有一种意义，而且是这样一种意义，即已知的加法规律对它们是有效的。这样，我们就必须进一步规定，
（a+bi）（c+di）=ac-bd+i（ad+bc）
应该是普遍的，由此我们将会进一步规定乘法。

102节
人们常常是这样作的，好像仅提出要求就是满足了要求。人们要求+、——、/、开方总是可行的，并且相信以此能够进行足够的运算。为什么人们不要求通过任意三点划出一条直线呢？因为这种要求有矛盾。啊，这样一来，就必须先证明其它那些要求没有矛盾！在证明这一点之前，所有全力以赴为之努力的严格性不过是虚无缥缈的东西。

在几何学定理中，并不出现为了证明而划出的那条辅助线。
无论每条个别的辅助线可能会多么多余，证明的力量总是依赖于能够划出的那条辅助线。
仅这样要求是不够的。在我们的情况中也是这样，“a+bi”是有一种意义还是仅仅是一片墨迹，这对于证明的力量不是无关紧要的。
如果不先解释这里的“和”意谓什么，如果没有证明使用定冠词的合理性，那么要求它应该有一种意义，或者说其意义是a与bi的这个和，就是不够的。

104节
在对分数、复数等等的定义过程中，一切最终也将取决于寻找一个可判断的内容，这个内容可以转为一个等式，它的两边恰恰是新数。
换言之，我们必须为这样的数规定一个重认判断的意义。
这里必须注意63-68节讨论过的，关于这样一种转化的疑虑。如果我们的做法与那里的一样，那么新数就将作为概念的外延给予我们。

105节
在我看来，根据这种关于数的观点，很容易说明研究算术和数学分析所产生的魅力。也许人们可以把一个著名的句子加以修改说：理性的真正对象就是理性。
我们在算术中探讨一些对象，它们不是我们通过感官媒介从外界认识的某种陌生的东西，而是直接给予理性的东西，它们作为理性最独特的东西是理性完全可以洞察的。

而且，或者说正因为如此，这些对象不时主观幻觉。不存在任何比算术规律更客观的东西。