关于向量范数的理解

最近搞深度学习用到了范数的概念（准确地说是向量范数），我在这里作一下简单的解释，未必100%准确，但是对我来说已经够用了。
首先，在试图理解之前，我们先看一下它们的数学定义：

1-范数：

2-范数：

或

p-范数：

或

∞-范数：

-∞-范数：

由上面的数学表达式，我们可以归纳一下：除了两个无穷范数以外，剩下的范数都是一个规律，即n范数就是一堆数字的n次方之和再开个n次方的根号；或者说，n范数就是一堆数字的n次方之和的n次方根。这是从计算方法层面上的认知。
那么从物理意义上又该如何认识和理解呢？
通过上面的观察可知，范数首先是一个函数。其次，范数表征了距离这个物理量，可以用于比较不同的向量。

一维情况下，假设有1和2两个数，我们可以直接比较它们的大小：2>1。
但是在二维情况下呢？例如，我们如何比较(0,6)和(3,4)？
这时候我们可以使用范数，比如2-范数：
(0,6)的2-范数结果是6，(3,4)的2-范数结果是5。按照范数是函数的思想，我们也可以说，2-范数这个函数把(0,6)映射到了实数6，把(3,4)映射到了5。这样我们就得到了两个实数，就可以将它们进行比较了。

我们最熟悉的应该就是2-范数，它常被用来计算两个点的欧氏距离。

我们上面谈到范数的计算方法层面的理解时，用了大白话的方式，并不是准确的数学语言，主要是为了让你对范数有一个直观上的理解。下面我们用稍严谨一些的语言来阐释一个常用的情况，即2-范数，来看看我们是如何利用2-范数来求欧氏距离的。

我们在上面说，“n范数就是一堆数字的n次方之和的n次方根”，这里所谓的“一堆数字”，实际上是一个向量的多个维度的坐标。我们假设这个向量x = (x1, x2, x3, x4, x5)，这一堆数字实际上就是x1, x2, x3, x4, x5，就是向量x在空间中的五个维度上的度量（或“刻度值”）。当我们把x的各维度平方求和再开平方之后，得到的数值表示什么意义呢？还记得我们说范数可以表征距离吗？

其实这个式子就相当于:

也就是说，x的2-范数表示了x这个点与空间原点的距离，也相当于x这个向量的长度。

所以，当我们想求一个向量的长度或者两点间的距离时，可以用2-范数。
例如，在python中，借助numpy库，我们可以这样写：

# 计算向量x的模
import numpy as np
x = np.array([1,2,3])
print(np.linalg.norm(x, ord=2))  # 此处的ord=2就指定了我们在求2-范数，当然不写也可以，因为norm函数默认就是求2-范数。

# 计算两个点，p和q的欧氏距离
import numpy as np
p = np.array([2,3,3])
q = np.array([6,6,6])
print(np.linalg.norm(p-q, ord=2))