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指数增长

指数增长

作者: 多多爸 | 来源:发表于2021-07-28 10:21 被阅读0次

前两天跟多多复习指数函数,把一次、二次函数和指数函数图像放在一起比较,下意识求了一下导数,弄清楚了一些问题。

给定一个随时间呈指数增长的变量 y = a^t,其增长速度为 \frac{d y}{d t} = a^t ln(a) = y ln(a)。这是说指数函数的特点是,y 的增长率跟当下 y 的水平成正比(或者线性关系)。而且二阶、更高阶效应仍然取决于y,这是幂函数所不能比的。

那么指数函数刻画的是现实中的什么过程?复利效应是常见的例子:一个时间点上财富的增殖速度,取决于当下财富的水平,因为当下的每一分钱都在产生回报。

指数函数有个特点,就是在 y 达到一定水平之前,有一段增长非常缓慢的时期,比线性增长还要慢。把时间拉长了看,那段时间就像没增长一样。出现这个平的阶段,是因为 y 的积累需要一个过程,或者说,这个平的阶段就是在积累 y(线性或者抛物线增长就不需要这种积累,因为增长速度只跟时间有关)。没有达到一定水平之前,增长速度上不来,可一旦达到那个水平,指数便开始发挥威力,快速超过线性函数和幂函数,而且距离越拉越远。

指数增长能带给我们什么启示呢?鸡汤地说,财富积累最初会有一段很平的阶段,这时你要有耐心,等到了那个水平,只要没有同样呈指数增长的阻碍力量,财富就会出现爆发。

所以财富爆发比别人都早的人,积累也比别人都早。

另一个常见的指数过程是生物的繁殖,由于当下每个个体都要繁衍下一代,个体数量增长速度,就取决于当下个体的数量。不受自然资源限制的微生物,尤其如此。所以,前面的逻辑和结论,把wealth换成virus,也一样。

我从一开始就没想讲财富。

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