算法分析与复杂性理论

作者: SunnyQjm | 来源:发表于2020-06-24 23:00 被阅读0次

1. 函数渐进的界

1.1 大 $O$ 符号

定义：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 $c$ 和 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le f (n) \le cg(n)$ 成立，则称 $f (n)$ 的渐进上界是 $g(n)$ ，记作：

$f (n) = O(g(n))$

自然数：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。
说明：
- $f (n) = O(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶不高于 $g(n)$ 的阶；
- 可能存在多个正数 $c$ ，只要指出一个即可；
- 对前面有限多个值可以不满足不等式；
- 常数函数可以写作 $O(1)$
栗子：
设 $f (n) = n^2 + n$ ，则：
- $f (n) = O(n^2)$ ，取 $c = 2, n_0 = 1$ 即可；
- $f (n) = O(n^3)$ ，取 $c = 1, n_0 = 2$ 即可；

1.2 大 $\Omega$ 符号

定义：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 $c$ 和 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le cg(n) \le f (n)$ 成立，则称 $f (n)$ 的渐进下界是 $g(n)$ ，记作：

$f (n) = \Omega(g(n))$
说明：
- $f (n) = \Omega(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶不低于 $g(n)$ 的阶；
- 可能存在多个正数 $c$ ，只要指出一个即可；
- 对前面有限多个值可以不满足不等式；
栗子：

设 $f (n) = n^2 + n$ ，则：
- $f (n) = \Omega(n^2)$ ，取 $c = 1, n_0 = 1$ 即可；
- $f (n) = \Omega(100n)$ ，取 $c = \frac{1}{100}, n_0 = 1$ 即可；

1.3 小 $o$ 符号

定义：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数 $c$ 都存在 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le f (n) \le cg(n)$ 成立，则记作：

$f (n) = o(g(n))$
说明：
- $f (n) = o(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶低于 $g(n)$ 的阶；
- 对不同的正数 $c$ ， $n_0$ 不一样， $c$ 越小 $n_0$ 越大；
- 对前面有限多个值可以不满足不等式；
栗子：

设 $f (n) = n^2 + n$ ，则： $f (n) = o(n^3)$

证：
- 当 $c \ge 1$ 时显然成立，只要取 $n_0 = 2$ ， $n^2 + n < cn^3$ ；
- 当 $0 < c < 1$ 时，取 $n_0 = \left \lceil \frac{2}{c} \right \rceil$ 即可，因为当 $n \ge n_0$ ：
  
  $cn \ge cn_0 > 2$
  
  $n^2 + n < 2n^2 < cn^3$

1.4 小 $\omega$ 符号

定义：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数 $c$ 都存在 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le cg(n) \le f (n)$ 成立，则记作：

$f (n) = \omega(g(n))$
说明：
- $f (n) = o(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶高于 $g(n)$ 的阶；
- 对不同的正数 $c$ ， $n_0$ 不一样， $c$ 越小 $n_0$ 越大；
- 对前面有限多个值可以不满足不等式；

1.5 $\Theta$ 符号

定义：

若 $f (n) = O(g(n))$ 且 $f (n) = \Omega(g(n))$ ，则记作：

$f (n) = \Theta(g(n))$
说明：
- $f (n)$ 的阶与 $g(n)$ 的阶相同
- 对前面有限多个值可以不满足条件；

	定义	说明
$O$	设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 $c$ 和 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le f (n) \le cg(n)$ 成立，则称 $f (n)$ 的渐进上界是 $g(n)$ ，记作： $f (n) = O(g(n))$	$f (n) = O(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶不高于 $g(n)$ 的阶；可能存在多个正数 $c$ ，只要指出一个即可；对前面有限多个值可以不满足不等式；常数函数可以写作 $O(1)$
$\Omega$	设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 $c$ 和 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le cg(n) \le f (n)$ 成立，则称 $f (n)$ 的渐进下界是 $g(n)$ ，记作： $f (n) = \Omega(g(n))$	$f (n) = \Omega(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶不低于 $g(n)$ 的阶；可能存在多个正数 $c$ ，只要指出一个即可；对前面有限多个值可以不满足不等式；
$o$	设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数 $c$ 都存在 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le f (n) \le cg(n)$ 成立，则记作： $f (n) = o(g(n))$	$f (n) = o(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶低于 $g(n)$ 的阶；对不同的正数 $c$ ， $n_0$ 不一样， $c$ 越小 $n_0$ 越大；对前面有限多个值可以不满足不等式；
$\omega$	设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数 $c$ 都存在 $n_0$ ，使得对于一切 $n > n_0$ 有 $0 \le cg(n) \le f (n)$ 成立，则记作： $f (n) = \omega(g(n))$	$f (n) = o(g(n))$ ， $f (n)$ 的阶高于 $g(n)$ 的阶；对不同的正数 $c$ ， $n_0$ 不一样， $c$ 越小 $n_0$ 越大；对前面有限多个值可以不满足不等式；
$\Theta$	若 $f (n) = O(g(n))$ 且 $f (n) = \Omega(g(n))$ ，则记作： $f (n) = \Theta(g(n))$	$f (n)$ 的阶与 $g(n)$ 的阶相同对前面有限多个值可以不满足条件；

2. 函数渐进界的定理

2.1 定理1：`Knowledge`

定理内容：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集合的函数。
- 如果 $\lim_{n \to \infty}\frac{f (n)}{g(n)}$ 存在，并且等于某个常数 $c > 0$ ，那么：
  
  $f (n) = \Theta(g(n))$
- 如果 $\lim_{n \to \infty}\frac{f (n)}{g(n)} = 0$ ，那么：
  
  $f (n) = o(g(n))$
- 如果 $\lim_{n \to \infty}\frac{f (n)}{g(n)} = +\infty$ ，那么：
  
  $f (n) = \omega(g(n))$
栗子：

设 $f (n) = \frac{1}{2}n^2 - 3n$ ，证明 $f (n) = \Theta(n^2)$

证：因为

$\lim_{n \to \infty}\frac{f (n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{2}n^2 - 3n}{n^2} = \frac{1}{2}$

根据定理1，有 $f (n) = \Theta(n^2)$
根据定理1，得到的一些重要的结论：
- $n^d = o(r^n), r > 1, d > 0$ => 多项式函数的阶低于指数函数的阶
- $\ln n = o(n^d), d > 0$ => 对数函数的阶低于幂函数的阶

2.2 定理2：

定理内容：

设 $f, g, h$ 的定义域为自然数集合：（函数阶之间的关系具有可传递性）
- 如果 $f = O(g)$ ，且 $f = O(h)$ ，那么 $f = O(h)$ ；
- 如果 $f = \Omega(g)$ ，且 $f = \Omega(h)$ ，那么 $f = \Omega(h)$ ；
- 如果 $f = \Theta(g)$ ，且 $f = \Theta(h)$ ，那么 $f = \Theta(h)$ ；

2.3 定理3：

定理内容：

设 $f$ 和 $g$ 是定义域为自然数集合的函数，若对某个其它的函数 $h$ ，有 $f = O(h)$ 和 $g = O(h)$ ，那么：

$f + g = O(h)$

=> 该性质可以推广到有限个函数
算法的时间复杂度是各步操作时间之和，在常数步的情况下取最高阶的函数即可。

4. 基本函数

4.1 对数函数

符号：
- $\log n = \log_2 n$
- $\log^k n = (\log n)^k$
- $\log\log n = \log(\log n)$
性质：
- $\log_2 n = \Theta(\log_l n)$
- $log_b n = o(n^\alpha), \alpha > 0$
- $\alpha ^{\log_b n} = n^{\log_b \alpha}$

4.2 指数函数与阶乘

斯特林公式（Stirling）：**

$n! = \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n(1 + \Theta(\frac{1}{n}))$
由 Stirling 公式得到的结论：
- $n! = o(n^n)$
- $n! = \omega(2^n)$
- $\log(n!) = \Theta(n\log n)$
$\log(n!) = \Theta(n\log n)$ 证明： Knowledge
- $\log(n!) = \Omega(n\log n)$ 的证明：
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  $\log(n!) = \sum_{k = 1}^n\log k \ge \int_1^n \log x dx = \log e(n\ln n - n + 1) = \Omega(n\log n)$
- $\log(n!) = O(n\log n)$ 的证明：
  image-20200623231215489.png
  $\log(n!) = \sum_{k = 1}^n\log k \le \int_{2}^{n + 1} \log x dx = \log e(n\ln n - n + 1) = O(n\log n)$

4.3 取整函数

定义：
- $\left \lfloor x \right \rfloor$ ：表示小于等于x的最大整数
- $\left \lceil x \right \rceil$ ：表示大于等于x的最大整数
性质：
- $x - 1 < \left \lfloor x \right \rfloor \le x \le \left \lceil x \right \rceil < x + 1$
- $\left \lfloor x + n \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor + n, \left \lceil x + n \right \rceil = \left \lceil x \right \rceil + n$
- $\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor = n$
- $\left \lceil \frac{\left \lceil \frac{n}{a} \right \rceil}{b} \right \rceil = \left \lceil \frac{n}{ab} \right \rceil, \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{n}{a} \right \rfloor}{b} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{ab} \right \rfloor$

4.4 按照阶排序 `Knowledge`

$2^{2^n}, n!, n2^n, (\frac{3}{2})^n, (\log n)^{\log n} = n^{\log\log n}$

$n^3, \log{(n!)} = \Theta(n\log n), n = 2^{\log n}$

$\log^2n, \log n, \sqrt{\log n}, \log\log n$

$n^{\frac{1}{\log n}} = 1$

5. 序列求和的方法

5.1 引例

$\begin{aligned}(1). \sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{k(k + 1)}&=\sum_{k = 1}^{n - 1}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})\\ &=\sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{k + 1}\\ &=\sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{k} - \sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k} \\ &= 1 - \frac{1}{n} \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}(2). \sum_{t = 1}^{k}t2^{t - 1}&=\sum_{t = 1}^{k}t(2^t - 2^{t - 1}) \\ &=\sum_{t = 1}^{k}t2^t - \sum_{t = 1}^{k}t2^{t - 1} \\ &=\sum_{t = 1}^{k}t2^t - \sum_{t = 0}^{k - 1}(t + 1)2^t \\ &=\sum_{t = 1}^{k}t2^t - \sum_{t = 0}^{k - 1}t2^t - \sum_{t = 0}^{k - 1}2^t \\ &=k2^t - (2^k - 1) = (k - 1)2^k + 1\\ \end{aligned}$

5.2 二分检索的平均时间复杂度 `knowledge`

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$A(n) = \left \lfloor \log n \right \rfloor + \frac{1}{2}$

5.3 估计和式上界的放大法 `knowledge`

两个放大公式：
- $\sum_{k = 1}^n a_k \le na_{max}$
- 假设存在常数 $r < 1$ ，使得对一切 $k \ge 0$ 有 $\frac{a_{k + 1}}{a_k} \le r$ 成立，则有如下结论：
  
  $\sum_{k = 0}^n \le \sum_{k = 0}^\infty a_0r^k = a_0\sum_{k = 0}^\infty r^k = \frac{a_0}{1 - r}$
栗子：

估计 $\sum_{k = 1}^n \frac{k}{3^k}$ 的上界。

解：

$\sum_{k = 1}^n \frac{k}{3^k} = \sum_{k = 0}^{n}\frac{k}{3^{k}}$

令 $a_k = \frac{k}{3^{k}}, a_{k + 1} = \frac{k + 1}{3^{k + 1}}$ ，则 $\frac{a_{k + 1}}{a_k} = \frac{(k + 1)3^{k}}{(k)3^{k + 1}} = \frac{k + 1}{3k} \le \frac{2}{3} (k >= 1)$

所以，由上述第二个放大公式有：

$\sum_{k = 1}^n \frac{k}{3^k} \le \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k - 1} = \frac{1}{3}\frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1$

5.4 估计和式渐进的界 `Knowledge`

估计 $\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$ 的渐进的界

$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} \ge \int_1^{n + 1}\frac{dx}{x} = \ln (n + 1)$
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$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \sum_{k = 2}^n \frac{1}{k} \le 1 + \int_1^{n}\frac{dx}{x} = \ln n + 1$
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所以， $\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} = \Theta(\ln n) = \Theta(\log n)$

6. 递推方程与算法分析 `Knowledge`

主定理的应用背景：

$T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f (n)$
- $a$ ：规约后的子问题个数
- $\frac{n}{b}$ ：规约后子问题的规模
- $f (n)$ ：规约过程以及组合子问题的解的工作量
二分检索 => $T(n) = T(\frac{n}{2}) + 1$

二分归并排序 => $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n - 1$
主定理：

设 $a > 1, b > 1$ 为常数， $f (n)$ 为函数， $T(n)$ 为非负整数，且 $T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f (n)$ ，则：
1. 若 $f (n) = O(n^{log_b a - \epsilon})$ ， $\epsilon > 0$ ，那么：
  
  $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$
2. 若 $f (n) = \Theta(n^{log_b a})$ ，那么：
  
  $T(n) = \Theta(n^{\log_b a}\log n)$
3. 若 $f (n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ ， $\epsilon > 0$ ，且对于某个常数 $c < 1$ 和充分大的 $n$ 有 $af(\frac{n}{b}) \le cf (n)$ ，那么：
  
  $T(n) = \Theta(f (n))$
例1：

求解递推方程： $T(n) = 9T(\frac{n}{3}) + n$

解：

$a = 9, b = 3, f (n) = n$

$n^{\log_b a} = n^{log_3 9} = n^2$ ， $f (n) = O(n^{log_3 9 - 1})$

根据主定理规则1，其中 $\epsilon = 1$ ：

$T(n) = \Theta(n^2)$
例2：

求解递推方程： $T(n) = T(\frac{2n}{3}) + 1$

解：

$a = 1, b = \frac{3}{2}, f (n) = 1$

$n^{log_b a} = n^{log_{\frac{3}{2}} 1} = 1$ ， $f (n) = n^{log_{\frac{3}{2}}1}$

根据主定理规则2：

$T(n) = \Theta(n^{\log_{\frac{3}{2}} 1} \log n) = \Theta(\log n)$
例3：

求解递推方程： $T(n) = 3T(\frac{n}{4}) + n\log n$

解：

$a = 3, b = 4, f (n) = n\log n$

$n^{\log_b a} = n^{\log_4 3} \approx 0.793$

取 $\epsilon = 0.2$ ，则 $f (n) = n\log n = \Omega(n^{\log_4 3 + 0.2})$ = $\Omega(n^{0.993})$

条件验证：要使 $af(\frac{n}{b}) \le cf (n)$ 成立，带入 $f (n) = n\log n$ 得到：

$3(\frac{n}{4})\log (\frac{n}{4}) \le cn\log n$

当 $c \ge \frac{3}{4}$ 时，上述不等式可以对充分打的n成立，根据主定理规则3：

$T(n) = \Theta(f (n)) = \Theta(n\log n)$
二分检索：

$W(n) = W(\frac{n}{2}) + 1, W(1) = 1$

解：

$a = 1, b = 2, f (n) = 1, n^{\log_2 1} = 1$

根据主定理规则2：

$W(n) = \Theta(\log n)$
二分归并排序：

$W(n) = 2W(\frac{n}{2}) + n - 1, W(1) = 0$

解：
$a = 2, b = 2, f (n) = n - 1, n^{\log_2 2} = n$

根据主定理规则2：

$W(n) = \Theta(n\log n)$
例4： => 不能使用主定理的情形

求解递推方程： $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n\log n$

解：

$a = 2, b = 2, f (n) = n\log n, n^{\log_b a} = n$

不存在 $\epsilon > 0$ 使得： $n\log n = \Omega(n^{1 + \epsilon})$

不存在 $c < 1$ 使 $af(\frac{n}{b}) \le cf (n)$ 对所有充分大的 $n$ 成立

$2(\frac{n}{2})\log{\frac{n}{2}} = n(\log n - 1) \le cn\log n$