银行家舍入法

一句话介绍

四舍六入五考虑，五后非零就进一，五后为零看奇偶，五前为偶应舍去，五前为奇要进一。

疑问

一直以为 JavaScript 的 toFixed() 是四舍五入的，但今天却惊讶地发现：它并不是一直都会四舍五入的

1.35.toFixed(1) // 1.4
1.45.toFixed(1) // 1.4

为什么对于相同的尾数5的舍入，结果却不同呢？
因为 toFixed() 使用的是“银行家舍入法”

银行家舍入法是由 IEEE 754 标准规定的浮点数取整算法，大部分的编程软件都使用这种方法。

当舍去位的数值：

• 小于等于4，直接舍去该位
• 大于等于6，向前位进一
• 等于5
  • 5后有数，向前位进一
  • 5后全0
    • 5前位数值为奇，则向前位进一（将前位凑成偶）
    • 5前位数值为偶，则直接舍去该位

场景

我们知道银行的盈利渠道主要是利息差，从储户手里收拢资金，然后放贷出去，其间的利息差额便是所获得的利润。对一个银行来说，对付给储户的利息的计算非常频繁。

假如我们使用四舍五入法，且假设银行收到的钱中，要舍入的那位数在0~9是等概率的，那么假设银行分别收到了 0.000, 0.001, ..., 0.009 元，然后通过四舍五入法，银行能够得到五个 0.000 和五个 1.000，也许在概率上看起来是公平的，但是：

以银行家的身份来思考这个算法：

• （1）四舍：舍弃的数值：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004，因为是舍弃，对银行家来说，就是不用付款给储户的，那每舍弃一个数字就会赚取相应的金额：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004。

• （2）五入：进位的数值：0.005、0.006、0.007、0.008、0.009，因为是进位，对银行家来说，每进一位就会多付款给储户，也就是亏损了，那亏损部分就是其对应的10进制补数：0.005、0.004、0.003、0.002、0.001

因为舍弃和进位的数字是在0到9之间均匀分布的，所以对于银行家来说，每10笔存款的利息因采用四舍五入而获得的盈利是：
0.000 + 0.001 + 0.002 + 0.003 + 0.004 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001 = -0.005
也就是说，每10笔的利息计算中就亏损0.005元，即每笔利息计算损失0.0005元

问题：为什么银行家舍入是合理的？

• 四舍六入本身没问题，5前偶舍奇进也没问题，关键在为什么5后有非0数要进位？
• 遇5舍弃的情况只有一种，即5是最后一位有效的数字且前一位数是偶数
• 当数值精度达到5后一位，其为0的概率为1/10，5前为偶数的概率是1/2，所以舍5的概率是1/10 * 1/2 = 1/20，而进5的概率是19/20
• 当数值精度越大，舍5个概率就越低，无限趋近于0，也就是说，当数值精度越高，该算法越像“四舍五入”
• 那么，为什么这个算法是合理的呢？
• 现实情况就是数值的精度不可能无限大，存款利息率一般为百分之零点几，而数值精度一般4位，5后存在非0数的概率相对较小，所以趋近于1/2舍5，1/2进5

后记

说是 toFixed() 使用的银行家舍入法所以表现起来不是四舍五入，但是在 Chrome 浏览器的实测中，我注意到它也并不一定都符合银行家舍入法：

0.45.toFixed(1) // 0.5 而不是0.4
1.45.toFixed(1) // 1.4

个人认为，这可能是由于浮点数存储精度问题导致的（未查阅资料证实）。

比如这里的 0.45其实类似于0.4500000002，存在一点点尾数，所以进行了舍入变为0.5。

有人认为因此在严肃的情况下不应使用 toFixed()，不过我个人倒是认为误差是随机的，所以从概率而言最后得到的结果还是公平的。