概述

逻辑回归与线性回归不同，逻辑回归是用来处理classification的问题的，而线性回归则是真正的回归算法。逻辑回归处理的是单一问题的分类，比如是否得了糖尿病，或者是否该用户可以得到信用卡等问题。

我们知道线性回归的表达式比较类似于线性方程，我们可以把逻辑回归看作对线性回归的一种拓展。为了预测值为1或者0的问题，我们不能利用线性回归让其预测值一直不断的升高和减小。因此，便想出了逻辑回归模型，使其无限拓展的值在0到1的区间范围内，如图1

图1

逻辑回归表达式

逻辑回归表达式

该表达式预测的是数值为1的概率，如该病人是否得了癌症的概率。相反要得到数值为0的概率，我们只需要用1减去数值为1的概率就可以得到。

逻辑回归损失函数

如果将线性回归的损失函数 (square error) 作为逻辑回归损失函数的话， 我们发现针对于逻辑回归，其损失函数并不是一个碗状的 (convex function)， 得到的学习曲线图如图2

图2

因此，我们无法通过梯度下降来得到全局最优解。然而，如果通过cross entropy，我们就可以让逻辑回归的损失函数变成一个碗状， 所以逻辑回归的损失函数为cross entropy， 其公式和逻辑回归学习曲线如下：

cross entropy 图3

逻辑回归损失函数推导

我们可以根据最大似然估计的方法来进行推导。可什么是最大似然估计呢？首先我们先来说一下似然和概率的区别。

所谓概率，就是在未知结果的情况下，根据所得到的数据性质 (比如普通硬币，性别等特征) 来对未知的结果进行预测。比如给定我们一个普通的硬币，我们可以预测其正面朝上 (预测结果) 的概率为50%，其公式记作

概率公式

相反，似然则是在已知结果的条件下来估计某个条件发生的可能性。比如投100次硬币， 正面朝上的概率为70次， 反面朝上的概率为30 次。 那么，我们估计其硬币正面朝上的概率 (硬币的性质)最有可能为多少， 或者说最有可能是那种硬币？

似然公式

我们对其求导， 令其导数为0，得到p为0.7。下面我们就来说一说逻辑回归模型对最大似然估计的应用。

根据逻辑回归的定义，我们知道

逻辑回归公式

我们拥有很多用户的数据，就好比从世界人群中抽样取出的一些数据。根据这些已知的数据结果x,和y， 我们使用最大似然估计来估计其最有可能的权重系数为多少，将其代入公式我们可以得到

代入似然估计函数

对其求导，令其等于0，我们就可以求得其最大值。因为要进行梯度下降，所以在前面加上负号使其变成碗状，求得最小值。

逻辑回归梯度下降公式

损失函数导数

逻辑回归基于MXNet代码

代码片段1 代码片段2 代码片段3 代码片段4

引用参考

Cesco.似然与极大似然估计.http://fangs.in/post/thinkstats/likelihood/.

Angelo-凤的博客. 最大似然估计(Maximum likelihood estimation)(通过例子理解). https://blog.csdn.net/qq_36396104/article/details/78171600

Andrew Ng. Machine Learning. https://www.coursera.org/learn/machine-learning/.